Dowód wzoru na sumę kolejnych liczb całkowitych

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
minik03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 16 sty 2010, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra

Dowód wzoru na sumę kolejnych liczb całkowitych

Post autor: minik03 » 7 wrz 2010, o 18:02

mam pokazac metodą indukcji matematycznej prawdziwość wzoru

\(\displaystyle{ p+(p+1)+(p+2)+...+(p+n)= \frac{(n+1)(2p+n)}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2010, o 18:28 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Dowód wzoru na sumę kolejnych liczb całkowitych

Post autor: Afish » 7 wrz 2010, o 18:07

Z czym masz problem?

minik03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 16 sty 2010, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra

Dowód wzoru na sumę kolejnych liczb całkowitych

Post autor: minik03 » 7 wrz 2010, o 18:17

sam niewiem nieraz bardzo proste tematy robia nam najwięcej problemu


może tak być

\(\displaystyle{ p+(p+1)= \frac{(n+1)(2p+n)}{2}}\)

\(\displaystyle{ 1+(1+1)= \frac{(1+1)(2*1+1)}{2}}\)
3=3

i to by wystarczyło czy trzeba wiecej rozpisać

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Dowód wzoru na sumę kolejnych liczb całkowitych

Post autor: Afish » 7 wrz 2010, o 18:20

Najpierw sprawdzasz dla \(\displaystyle{ n=1}\), czyli zamiast \(\displaystyle{ n}\) podstawiasz jedynkę i sprawdzasz, czy \(\displaystyle{ L=P}\)
Potem zakładasz, że dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\) wzorek jest prawdziwy i wykorzystując tę wiedzę sprawdzasz, czy jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ n+1}\)

minik03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 16 sty 2010, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra

Dowód wzoru na sumę kolejnych liczb całkowitych

Post autor: minik03 » 7 wrz 2010, o 18:57

no to mam sprawdzone dla n=1 i l=p a jak rozpisać n+1 to już czarna magia

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Dowód wzoru na sumę kolejnych liczb całkowitych

Post autor: Althorion » 7 wrz 2010, o 19:04

\(\displaystyle{ p+(p+1)+(p+2)+ \ldots +(p+n) + (p+n+1) = \frac{(n+2)(2p+n+1)}{2} \\
\frac{(n+1)(2p+n)}{2} + p + n + 1 = \frac{(n+2)(2p+n+1)}{2}}\)

Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

Dowód wzoru na sumę kolejnych liczb całkowitych

Post autor: Mersenne » 7 wrz 2010, o 19:11

założenie: \(\displaystyle{ p+(p+1)+(p+2)+...+(p+k)=\frac{(k+1)(2p+k)}{2}}\)

teza: \(\displaystyle{ p+(p+1)+(p+2)+...+(p+k+1)=\frac{(k+2)(2p+k+1)}{2}}\)

dowód:
\(\displaystyle{ L=p+(p+1)+(p+2)+...+(p+k+1)=\frac{(k+1)(2p+k)}{2}+(p+k+1)=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{(k+1)(2p+k)+2(p+k+1)}{2}=\frac{2kp+k^{2}+2p+k+2p+2k+2}{2}=\frac{2kp+k^{2}+4p+2k+k+2}{2}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{k(k+2)+(k+2)+2p(k+2)}{2}=\frac{(k+2)(k+2p+1)}{2}=P}\)

minik03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 16 sty 2010, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra

Dowód wzoru na sumę kolejnych liczb całkowitych

Post autor: minik03 » 7 wrz 2010, o 19:24

dzięki wielkie jestescie wielcy-teraz wszystko rozumie

ODPOWIEDZ