Wykazać że macierz jest diagonalizowalna

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Ksl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 8 sty 2009, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 13 razy

Wykazać że macierz jest diagonalizowalna

Post autor: Ksl » 7 wrz 2010, o 16:52

Dana jest macierz A endomorfizmu f w bazie kanonicznej

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&-2&1\\0&-2&1\end{array}\right]}\)

a)Wykazać że macierz A jest diagonalizowalna
b)Znaleźć bazę B w której macierz endomorfizmu f jest diagonalna oraz podac te macierz.

a)
Policzyłem wartości własne i wyszły one 0 ,-1
następnie zaczalem szuaknie wektorow wlasnych dla 0 wychodzi mi układ równań
\(\displaystyle{ -2v_2+v_3=0}\) jaki z tego wychodzi wektor? Co dalej z tym robić?

czy wychodzą z tego wektory
[1,0,0] , [0,1,2], a po podstawieniu wartości własne -1 [0,1,-2]?

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Wykazać że macierz jest diagonalizowalna

Post autor: BettyBoo » 7 wrz 2010, o 17:43

Z tego masz np. \(\displaystyle{ v_3=2v_2}\), a więc wektory własne są postaci \(\displaystyle{ (v_1,v_2,2v_2)}\), czyli wymiar tej przestrzeni własnej to 2, co oznacza w tym zadaniu, że macierz jest diagonalizowalna.

Szukana baza składa się z liniowo niezależnych wektorów własnych.

Pozdrawiam.

Ksl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 8 sty 2009, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 13 razy

Wykazać że macierz jest diagonalizowalna

Post autor: Ksl » 7 wrz 2010, o 17:49

czyli rozumiem że baza to te 3 wektory które wyliczyłem , a żeby macierz wyszła to wrzucić te wektory do kolumn macierzy?

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Wykazać że macierz jest diagonalizowalna

Post autor: BettyBoo » 7 wrz 2010, o 18:02

Nie wiem jakie wektory wyliczyłeś, więc trudno mi powiedzieć, czy to jest poprawnie

Jeśli chcesz otrzymać postać diagonalną macierzy, to na przekątnej wstawiasz wartości własne (reszta to oczywiście zera). Aby podać bazę, w której otrzymuje się taką postać diagonalną, trzeba wziąć wektory własne i poustawiać je w odpowiedniej kolejności (w takiej, w jakiej na przekątnej macierzy pojawią się odpowiadające im wartości własne).

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ