Równanie liniowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
dominik_fil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 15 sty 2010, o 01:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: SP
Podziękował: 1 raz

Równanie liniowe

Post autor: dominik_fil » 7 wrz 2010, o 11:19

Witam, mam rozwiązać takie równanie, a kompletnie nie wiem jak. Nigdy mi to nie szło za bardzo.Siedzę nad tym kilka godzin.
1.\(\displaystyle{ y'-2y=x}\)
2.\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x} =xy ^{2}}\)
3.\(\displaystyle{ y''+9y= \frac{1}{cos3x}}\) to chyba liniowe nie wiem?
4.\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x} =y ^{2} y(1)=0}\)
5.\(\displaystyle{ yy''=y'-(y') ^{2}}\)
6.\(\displaystyle{ y'+ \frac{1}{x} y= \frac{x}{3y ^{2} }}\)
7.\(\displaystyle{ y' \frac{1}{x} y= y ^{2}}\)
8.\(\displaystyle{ y=xy'-sin(y')}\)
9.\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x} = \frac{1}{x ^{2} } y(1)=3}\)
10.Clearmonta \(\displaystyle{ 2xy''=(y') ^{2} +1}\)
11.\(\displaystyle{ y''-4y= \frac{1}{1+e ^{x} }}\)
12.\(\displaystyle{ y''+ \frac{y'}{x}+ \frac{1}{x ^{3} }}\)
13.\(\displaystyle{ y'- \frac{2}{x} y= \frac{1}{x ^{3} }}\)
14.\(\displaystyle{ y''-2y'+y= \frac{e ^{x} }{x ^{4} }}\)
15.\(\displaystyle{ y''-4y'+4y= \frac{e ^{2x} }{x ^{2} }}\)
16.\(\displaystyle{ y''=1+2 \frac{y'}{x}}\)
17.\(\displaystyle{ y'- \frac{5}{xy} =2x+1}\)
18.\(\displaystyle{ y'= \frac{y}{x} +sin( \frac{y}{x})}\)

Ktoś może chociaż część tego mógłby mi wyjaśnić po kolei jak to robi.
czy mogę tyle w jednym poście czy wszystko osobno?

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Równanie liniowe

Post autor: mariuszm » 7 wrz 2010, o 12:12

1. Uzmienniasz stałą (bez macierzy Wrońskiego) lub korzystasz z czynnika całkującego

2. Równanie Bernoulliego podstawiasz \(\displaystyle{ z= \frac{1}{y}}\)

3. Uzmienniasz stałą układ równań z macierzą Wrońskiego

4. Równanie Bernoulliego z warunkiem początkowym

6 Znowu równanie Bernoulliego

7 Podstawienie \(\displaystyle{ z=y^2}\)
chyba że to jest kolejne równanie Bernoulliego a Ty zapomniałeś wstawić +/-

9 Uzmienniasz stałą (bez macierzy Wrońskiego) lub korzystasz z czynnika całkującego

10. Chyba da radę obniżyć rząd podstawieniem \(\displaystyle{ u=y'}\)

11. Uzmienniasz stałą układ równań z macierzą Wrońskiego

12. Podstawienie \(\displaystyle{ u=y'}\)

13. Uzmiennienie stałej bez macierzy Wrońskiego
lub czynnik całkujący

14. Uzmienniasz stałą układ równań z macierzą Wrońskiego

15. Uzmienniasz stałą układ równań z macierzą Wrońskiego

16. Podstawiasz \(\displaystyle{ u=y'}\)

18. Podstawiasz \(\displaystyle{ y=ux}\)

Równanie Bernoulliego

\(\displaystyle{ y^{\prime}+py=qy^{r}}\)

sprowadzasz do równania liniowego pierwszego rzędu podstawieniem

\(\displaystyle{ z=y^{1-r}}\)

Jeżeli podstawieniem \(\displaystyle{ u=y'}\)
nie zmieniasz zmiennej niezależnej to pochodna wnętrza jest jedynką

Rozwiążę Tobie 5 równań a Ty podobne rozwiążesz samodzielnie

Ad 1.

Równanie liniowe pierwszego rzędu

\(\displaystyle{ y^{\prime}-2y=x}\)

\(\displaystyle{ y^{\prime}-2y=0\\
y^{\prime}=2y\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=2y\\
\frac{ \mbox{d}y}{y}=2\mbox{d}x \\
\ln{ \left|y \right| }=2x+C\\
y=Ce^{2x}}\)


\(\displaystyle{ y=c \left( x\right)e^{2x}}\)

\(\displaystyle{ c^{\prime} \left(x \right)e^{2x}+2c \left(x \right)e^{2x}-2c \left( x\right) e^{2x}=x\\
c^{\prime} \left(x \right)e^{2x}=x\\
c^{\prime} \left(x \right)=xe^{-2x}
c \left(x \right) =- \frac{1}{2}xe^{-2x}- \frac{1}{4}e^{-2x} +C}\)


\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2}x- \frac{1}{4}+Ce^{2x}}\)

Ad 2.

Równanie różniczkowe Bernoulliego

\(\displaystyle{ y^{\prime}- \frac{y}{x}=xy^{2}\\
-\frac{y^{\prime}}{y^2}+ \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}=-x}\)


\(\displaystyle{ z= \frac{1}{y}}\)

\(\displaystyle{ z^{\prime}+ \frac{1}{x}z=-x}\)

\(\displaystyle{ z^{\prime}+ \frac{1}{x}z=0\\
z^{\prime}=- \frac{1}{x} \cdot z\\
\frac{ \mbox{d}z}{z \mbox{d}x } = -\frac{1}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z}{z}=- \frac{1}{x} \mbox{d}x \\
\ln{ \left|z \right| } =\ln{ \left|C \cdot \frac{1}{x} \right| } \\
z=C \cdot \frac{1}{x}}\)


\(\displaystyle{ z=c \left(x \right) \cdot \frac{1}{x}\\
c^{\prime} \left(x \right) \cdot \frac{1}{x}- \frac{1}{x^2}c \left(x \right) +\frac{1}{x^2}c \left(x \right)=-x\\
c^{\prime} \left(x \right) \cdot \frac{1}{x}=-x\\
c^{\prime} \left(x \right)=-x^2\\
c \left(x \right)=- \frac{x^3}{3}+C}\)


\(\displaystyle{ z=- \frac{x^2}{3}+ \frac{C}{x}= \frac{-x^3+3C}{3x}}\)

\(\displaystyle{ y=- \frac{3x}{x^3-3C}}\)

Ad 3.

Równanie liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Uzmiennianie stałych tutaj nieco inaczej wygląda

\(\displaystyle{ y^{\prime\prime}+9y= \frac{1}{\cos{3x}}}\)

\(\displaystyle{ \lambda^2+9=0\\
\left(\lambda+3i \right) \left(\lambda-3i \right)=0}\)


\(\displaystyle{ y=C_{1}\cos{3x}+C_{2}\sin{3x}+\varphi \left( x\right)}\)

\(\displaystyle{ W= \begin{vmatrix} \cos{3x}&\sin{3x} \\ -3\sin{3x}&3\cos{3x} \end{vmatrix}=3\cos^{2}{3x}+3\sin^{2}{3x}=3\\
c_{1}^{\prime} \left(x \right)= \frac{1}{3} \cdot \begin{vmatrix} 0&\sin{3x} \\ \frac{1}{\cos{3x}} &3\cos{3x} \end{vmatrix}= \frac{1}{9} \cdot \frac{ \left(-3\sin{3x} \right) }{\cos{3x}} \\
c_{2}^{\prime} \left(x \right)= \frac{1}{3}\begin{vmatrix} \cos{3x}&0 \\ -3\sin{3x}& \frac{1}{\cos{3x}} \end{vmatrix}= \frac{1}{3}}\)


\(\displaystyle{ \varphi \left(x \right)= \frac{1}{9}\cos{3x}\ln{ \left|\cos{3x} \right| }+ \frac{1}{3}x\sin{3x}}\)

\(\displaystyle{ y=C_{1}\cos{3x}+C_{2}\sin{3x}+\frac{1}{9}\cos{3x}\ln{ \left|\cos{3x} \right| }+ \frac{1}{3}x\sin{3x}}\)

Ad 16.

Równanie liniowe rzędu drugiego sprowadzalne do rzędu pierwszego

\(\displaystyle{ y^{\prime\prime}=1+2 \frac{y^{\prime}}{x}}\)

\(\displaystyle{ u=y^{\prime}}\)

\(\displaystyle{ u^{\prime}=1+2 \frac{u}{x}\\
u ^{\prime}- \frac{2}{x}u=1}\)


\(\displaystyle{ u ^{\prime}- \frac{2}{x}u=0\\
u^{\prime}= \frac{2}{x}u\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }= \frac{2}{x}u\\
\frac{ \mbox{d}u}{u \mbox{d}x }= \frac{2}{x}\\
\frac{ \mbox{d}u}{u}= \frac{2}{x} \mbox{d}x \\
\ln{ \left| u\right| }=2\ln{ \left|x \right| }+C
u=Cx^2}\)


\(\displaystyle{ u=c \left(x \right)x^2}\)

\(\displaystyle{ c^{\prime} \left(x \right)x^2+c \left(x \right) \cdot 2x-2c \left(x \right) \cdot x=1\\
c^{\prime} \left(x \right)x^2=1\\
c^{\prime} \left(x \right)= \frac{1}{x^2}
c \left(x \right)=- \frac{1}{x}+C}\)


\(\displaystyle{ u=-x+Cx^2}\)

\(\displaystyle{ y=- \frac{x^{2}}{2}+C_{1} \cdot \frac{x^3}{3}+C_{2}}\)

Ad 18.

Zamiana zmiennych w równaniu o rozdzielonych zmiennych

\(\displaystyle{ y^{\prime}= \frac{y}{x}+\sin{ \frac{y}{x} }}\)

\(\displaystyle{ y=ux}\)

\(\displaystyle{ y^{\prime}=u^{\prime}x+u}\)

\(\displaystyle{ u^{\prime}x+u= u+\sin{u}\\
u^{\prime}x=\sin{u}\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x } \cdot x=\sin{u}\\
\frac{ \mbox{d}u}{\sin{u}} \cdot x= \mbox{d}x \\
\frac{ \mbox{d}u}{2\tan{ \frac{u}{2} }\cos^{2}{ \frac{u}{2} }} = \frac{1}{x} \mbox{d}x \\
\ln{ \left|\tan{ \frac{u}{2} } \right| } =\ln{ \left|x \right| } +C\\
\tan{ \frac{u}{2} }=Cx}\)


\(\displaystyle{ \tan{ \frac{y}{2x} }=Cx\\
\frac{y}{2x}=\arctan{Cx}\\
y=2x\arctan{Cx}}\)

ODPOWIEDZ