Równanie różniczkowe liniowe

[i105n2k]

\(\displaystyle{ y^{'}= \frac{y}{ sin^{2}x }+ \frac{1}{ sin^{2}x }}\)
Liczę:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}= \frac{dx}{ sin^{2}x }}\)
Dobrze myślę ? Jeśli tak to jak policzyć prawą całkę ?

[BettyBoo]

Dobrze myślisz. Po prawej stronie masz prawie całkę z tablic:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{ \sin^{2}x }=-\int -\frac{dx}{ \sin^{2}x }=-\ctg x+c}\)

Pozdrawiam.

[i105n2k]

Dobrze myślisz...

Kilka kroków dalej kolejny problem:

\(\displaystyle{ dC(x) e^{-ctgx} = \frac{dx}{ sin^{2} x}}\)
Jak to zrobić ? Konkretniej jak to scałkować.

[pajong8888]

\(\displaystyle{ c(x)=\int\frac{e^{\ctg x}}{\sin^2 x}dx}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ \ctg x=t\Rightarrow \frac{dx}{\sin^2 x}=-dt}\)
Podstawiając:
\(\displaystyle{ -\int e^t dt=-e^t + c}\)
Czyli omijając stałą (nie trzeba, ale można) wychodzi c(x)=-e^{ctg x}
Później już wiesz jak zadanie dokończyć.