pare calek nieoznaczonych

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
wegian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 20 sie 2009, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy

pare calek nieoznaczonych

Post autor: wegian » 5 wrz 2010, o 13:39

Prosze o pomoc
1.\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2x ^{2} }{x ^{2}+9 } dx}\)
2. \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x ^{2}+1 }{x-1}dx}\)
3.\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x ^{2} }{6-x ^{6} }dx}\)
4.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{3} \sqrt{4-x ^{2} } dx}}\)

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

pare calek nieoznaczonych

Post autor: tometomek91 » 5 wrz 2010, o 13:44

1.
\(\displaystyle{ \int \frac{2x ^{2}}{x ^{2}+9 } dx=\int \frac{2x ^{2}+18}{x ^{2}+9 } dx-18\int \frac{dx}{x ^{2}+9 }=2\int dx-18\int \frac{dx}{x ^{2}+9 }\\
\\
\int \frac{dx}{x ^{2}+9 }=\\
3u=x\\
3du=dx\\
=\int \frac{3du}{9u^2+9 }=\frac{1}{3}\int \frac{du}{u^2+1 }=\frac{1}{3}arctgu+C=\frac{1}{3}arctg\left(\frac{1}{3}x \right)+C\\
\\
2\int dx-18\int \frac{dx}{x ^{2}+9 }=2x-6arctg\left(\frac{1}{3}x \right)+C}\)


-- 5 wrz 2010, o 12:50 --

2.
\(\displaystyle{ \int \frac{x ^{2}+1 }{x-1}dx=\\
x-1=t\\
dx=dt\\
=\int \frac{(t+1)^2+1}{t}dt=\int \frac{t^2+2t+2}{t}dt= \int tdt+2 \int_{}^{} dt+2 \int_{}^{} \frac{1}{t}dt=\frac{1}{2}t^2+2t+2ln|t|+C=\frac{1}{2}(x-1)^2+2(x-1)+2ln|x-1|+C}\)

jarek4700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 939
Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 228 razy

pare calek nieoznaczonych

Post autor: jarek4700 » 5 wrz 2010, o 13:55

Trzecią całkę przedstaw jako:

\(\displaystyle{ \frac{1}{6}\int{}{}\frac{x^{2}}{1-(\frac{1}{\sqrt{6}}x^{3})^{2}}dx}\)

Następnie podstaw \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{6}}x^{3} = t}\) i rozbij to na ułamki proste.

Awatar użytkownika
gott314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 38 razy

pare calek nieoznaczonych

Post autor: gott314 » 5 wrz 2010, o 15:14

4. \(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{3} \sqrt{4-x ^{2} } dx}=\left|\begin{array}{ccc} t=\sqrt{4-x^2}\\ x^2=4-t^2\\ -t\cdot \mbox{d}t=x\cdot \mbox{d}x \end{array}\right|=-\int (4-t^2)\cdot t \cdot t \ \mbox{d}t=}\)
\(\displaystyle{ =-4\int t^2 \ \mbox{d}t+\int t^4 \ \mbox{d}t=-\frac{4}{3}t^3+\frac{1}{5}t^5 +C=-\frac{4}{3}(4-x^2)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{5}(4-x^2)^{\frac{5}{2}} +C}\)

wegian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 20 sie 2009, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy

pare calek nieoznaczonych

Post autor: wegian » 5 wrz 2010, o 15:47

Wielkie dzieki !

ODPOWIEDZ