Całka podwójna - obliczenie

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
manpaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 24 kwie 2010, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała
Podziękował: 11 razy

Całka podwójna - obliczenie

Post autor: manpaw » 5 wrz 2010, o 11:27

Mam problem z obliczeniem takiej całki:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} (2x+3y)dxdy}\), która jest ograniczona krzywymi:\(\displaystyle{ y=-1}\)i \(\displaystyle{ y=1-|x|}\)

Z wykresu wychodzi mi że

\(\displaystyle{ -1 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ -1 \le y \le 1-|x|}\)

i nie wiem jak obliczyć całkę jak w granicy jest
\(\displaystyle{ y=1-|x|}\)

Awatar użytkownika
M Ciesielski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

Całka podwójna - obliczenie

Post autor: M Ciesielski » 5 wrz 2010, o 11:47

Z definicji wartości bezwzględnej skorzystaj i przedziałami tę funkcję zapisz.

manpaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 24 kwie 2010, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała
Podziękował: 11 razy

Całka podwójna - obliczenie

Post autor: manpaw » 5 wrz 2010, o 12:04

Mógłbyś to zapisać? Bo nie wiem jak będzie a na jutro tego potrzebuję :/

Awatar użytkownika
M Ciesielski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

Całka podwójna - obliczenie

Post autor: M Ciesielski » 5 wrz 2010, o 13:31

Definicję wartości bezwzględnej znasz w ogóle?

\(\displaystyle{ 1-|x| = \begin{cases}1+x, \quad x <0 \\ 1-x, \quad x > 0 \end{cases}}\)

manpaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 24 kwie 2010, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała
Podziękował: 11 razy

Całka podwójna - obliczenie

Post autor: manpaw » 5 wrz 2010, o 14:38

Definicje znam, chodziło mi o zapis całki

Awatar użytkownika
M Ciesielski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

Całka podwójna - obliczenie

Post autor: M Ciesielski » 5 wrz 2010, o 16:03

No więc obszar dzielimy na dwa tak jak wyżej napisałem i sumujemy całki.

manpaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 24 kwie 2010, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała
Podziękował: 11 razy

Całka podwójna - obliczenie

Post autor: manpaw » 5 wrz 2010, o 19:59

Całki tak powinny wyglądać?:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dx \int_{-1}^{1+x} (2x+3y)dy+\int_{-1}^{1 } dx\int_{1-x}^{-1} (2x+3y)dy}\)

Awatar użytkownika
M Ciesielski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

Całka podwójna - obliczenie

Post autor: M Ciesielski » 5 wrz 2010, o 21:30

Musisz podzielić obszar względem iksów. Zauważ, że ta funkcja z modułem jest równa \(\displaystyle{ 1+x}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\) i z drugą całką zrób to samo. Pierwsza będzie zatem (ze względu na \(\displaystyle{ x}\)) od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 0}\) a drugą trzeba podobnie zmodyfikować.

ODPOWIEDZ