Witam. Jestem nowy. Mam problem z zadaniem matematycznym:
Wykaż, że dla każdej wartości parametru m (m należy do rzeczywistych) podane równanie ma rozwiązanie. Znajdź je.
\(\displaystyle{ mx^2-(4m+1)x+3m+1=0}\)
Równanie kwadratowe z parametrem
Równanie kwadratowe z parametrem
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2010, o 23:51 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
irena_1
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
Równanie kwadratowe z parametrem
1.
Jeśli m=0, to masz równanie:
\(\displaystyle{ -x+1=0\ \Rightarrow \ x=1}\)
2.
Jeśli \(\displaystyle{ m \neq 0}\), to:
\(\displaystyle{ \Delta=(4m+1)^2-4m(3m+1)=4m^2+4m+1=(2m+1)^2 \ge 0\\\sqrt{\Delta}=|2m+1|}\)
a)
\(\displaystyle{ (\Delta=0\ \Leftrightarrow \ m=-\frac{1}{2})\ \Rightarrow \ x_0=\frac{4m+1}{2m}}\)
b)
\(\displaystyle{ m \in (- \infty ,\ -\frac{1}{2}\ \Rightarrow \ |2m+1|=-2m-1\\x_1=\frac{4m+1-(-2m-1)}{2m}=\frac{6m+2}{2m}=\frac{3m+1}{m}\ x_2=\frac{4m+1-2m-1}{2m}=1}\)
\(\displaystyle{ m \in (-\frac{1}{2};\ \infty )\ \wedge \ m \neq 0\ \Rightarrow \ |2m+1|=2m+1\\x_1=\frac{4m+1-2m-1}{2m}=1\ \vee \ x_2=\frac{4m+1+2m+1}{2m}=\frac{6m+2}{2m}=\frac{3m+1}{m}}\)
Jeśli m=0, to masz równanie:
\(\displaystyle{ -x+1=0\ \Rightarrow \ x=1}\)
2.
Jeśli \(\displaystyle{ m \neq 0}\), to:
\(\displaystyle{ \Delta=(4m+1)^2-4m(3m+1)=4m^2+4m+1=(2m+1)^2 \ge 0\\\sqrt{\Delta}=|2m+1|}\)
a)
\(\displaystyle{ (\Delta=0\ \Leftrightarrow \ m=-\frac{1}{2})\ \Rightarrow \ x_0=\frac{4m+1}{2m}}\)
b)
\(\displaystyle{ m \in (- \infty ,\ -\frac{1}{2}\ \Rightarrow \ |2m+1|=-2m-1\\x_1=\frac{4m+1-(-2m-1)}{2m}=\frac{6m+2}{2m}=\frac{3m+1}{m}\ x_2=\frac{4m+1-2m-1}{2m}=1}\)
\(\displaystyle{ m \in (-\frac{1}{2};\ \infty )\ \wedge \ m \neq 0\ \Rightarrow \ |2m+1|=2m+1\\x_1=\frac{4m+1-2m-1}{2m}=1\ \vee \ x_2=\frac{4m+1+2m+1}{2m}=\frac{6m+2}{2m}=\frac{3m+1}{m}}\)