Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 10

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Zerg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lodz
Podziękował: 7 razy

Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 10

Post autor: Zerg » 4 wrz 2010, o 22:41

Witam

Mam taki, denerwujący a pewnie prosty problemik, Udowdonij, że liczba \(\displaystyle{ 37 ^{4n} - 1}\) jest podzielna przez 10, gdzie \(\displaystyle{ n \in N}\) . Jakoś nie mogę sobie z tym poradzić.

Pozdro
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2010, o 22:45 przez Zerg, łącznie zmieniany 1 raz.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 10

Post autor: » 4 wrz 2010, o 22:43

Zerg pisze:Udowdonij, że liczba \(\displaystyle{ 37 ^{4n}}\) jest podzielna przez 10
Ta liczba nie jest podzielna przez dziesięć dla żadnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego.

Q.

Zerg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lodz
Podziękował: 7 razy

Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 10

Post autor: Zerg » 4 wrz 2010, o 22:47

Qń pisze: Ta liczba nie jest podzielna przez dziesięć dla żadnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego.
Tak, masz racje, zapomniałem dopisać 1 ;p a w tym wypadku jak poprawiłem?

Fingon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 222
Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 32 razy

Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 10

Post autor: Fingon » 4 wrz 2010, o 22:50

Wskazówka: \(\displaystyle{ 37^4 \equiv 1\ \text{mod}\ 10}\).

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 10

Post autor: » 4 wrz 2010, o 22:51

Wskazówka: sprawdź jaka jest ostatnia cyfra \(\displaystyle{ 37^4}\) i wywnioskuj z tego jaka jest ostatnia cyfra \(\displaystyle{ 37^{4n}}\).

Q.

Zerg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lodz
Podziękował: 7 razy

Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 10

Post autor: Zerg » 4 wrz 2010, o 22:55

A da się jakoś prościej? tzn tak aby na pierwszy rzut oka było widać? Potrzebuje to do indukcji i chce umieć sprawdzić pierwszy warunek dla takich przykładów ;p A jak się nie da to ta wskazówka była bardzo przydatna.

Edit:
Tylko, że na egzaminie nie mogę używać kalkulatorów i liczenie, pod kreską tak dużej liczby jednak troche cennego czasu zabierze.

Wielkie dzieki za pomoc

Fingon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 222
Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 32 razy

Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 10

Post autor: Fingon » 4 wrz 2010, o 22:58

Z indukcji też się pewnie da, ale po co strzelać do muchy z armaty?
Prostsza wskazówka: \(\displaystyle{ 37^4 = 10k + 1}\) do tego dwumian Newtona.
Gdybyś koniecznie chciał indukcję, to stawiasz tezę, że \(\displaystyle{ 37^{4n} - 1 = 10k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\) i dowodzisz, coś powinno z tego wyjść.

ODPOWIEDZ