Matematyka.pl

Mam taką funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ e^{x} }{x+2}}\)
Dziedzina tej funkcji to zbiór liczb rzeczywistych oprócz -2.

1. Aby obliczyć monotoniczność wyznaczam pierwszą pochodną. Wg. moich obliczeń wychodzi mi:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{ e^{x}(x+1) }{ (x+2)^{2} }}\)

Funkcja jest rosnąca dla: \(\displaystyle{ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)}\)
Funkcja jest malejąca dla: \(\displaystyle{ x \in (-1, +\infty)}\)

2. Ekstremum. W tym celu szukam pochodnej drugiego stopnia. Tutaj jednak dochodzę pewnego momentu i nie wiem co robić dalej:

\(\displaystyle{ f''(x)=(\frac{ e^{x} }{x+2})''=(\frac{ e^{x}(x+1) }{ (x+2)^{2} })'= \frac{[ e^{x}(x+1)]' (x+2)^{2}-(x+2)'[e ^{x}(x+1) ] }{(x+2) ^{4} }= \frac{e ^{x}(x+2) ^{3}-e ^{x}(x+1)}{(x+4) ^{4} }}\)

Co mogę dalej zrobić z tym równaniem? Nie za bardzo szczególnie wiem co zrobić z tym "e"? Czy można to jakoś jeszcze uprościć?

Jeśli masz pochodną dobrze wyliczoną (tego nie sprawdzam), to po prostu przyrównaj licznik do zera z założeniem \(\displaystyle{ x \neq -4}\).

Ok. A co później? Mam podstawić pod x w -1 i -2 które są punktami przegięcia? A co z "e"?

Zaraz, zaraz.
Żeby wyznaczyć ekstremum funkcji, należy jej pierwszą pochodną przyrównać do zera. Niepotrzebnie liczysz drugą pochodną.
Wybacz że teraz o tym mówię, nie zauważyłem tego wcześniej bo szybko przeleciałem wzrokiem.

Racja! Też się trochę zapędziłem... Ok, po przyrównaniu do 0, wychodzi mi tylko jedno ekstremum:
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1}\)

Ale teraz żeby ustalić czy jest to minimum czy maksimum lokalne i tak muszę policzyć pochodną drugiego stopnia... Tylko nie wiem czy ta pochodna drugiego stopnia jest prawidłowa? Czy można ją uprościć, czy po prostu podstawić pod x?

Niekoniecznie, wystarczy zbadać monotoniczność tej funkcji w otoczeniu tego punktu.

Wcześniej nie obliczałem nigdy tego w ten sposób, więc wolę nie próbować i pozostać przy starej metodzie. Chciałbym tylko ustalić, czy jeżeli podstawię pod licznik drugiej pochodnej w miejsce x wcześniej wyliczony x z pierwszej pochodnej, to czy to wystarczy? Tj. ewentualnie mogę jakoś uprościć te równanie?

Hmm no skoro tak chcesz.
Podstaw od razu, nie ma co kombinować bo łatwo się pomylić po tylu obliczeniach