Dowód - domknięcie zbiorem domkniętym

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Wojtolino
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 263
Rejestracja: 2 sty 2010, o 12:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 17 razy

Dowód - domknięcie zbiorem domkniętym

Post autor: Wojtolino » 4 wrz 2010, o 14:04

Witam!
Problem wydaje się idiotyczny, ale co zrobić - wykładowca rządzi :D
Definicja zbioru domkniętego, na której należy się oprzeć - zawiera swoje punkty skupienia. Pokazać, że domknięcie zbioru (\(\displaystyle{ A \cup A'}\)) jest domknięte.
Wiem, że trzeba pokazać, że taki zbiór nie ma już nowych punktów skupienia poza A'. Problem w tym, że nie bardzo czaję jak :)

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Dowód - domknięcie zbiorem domkniętym

Post autor: Ein » 4 wrz 2010, o 14:13

A co to jest domknięcie zbioru? Bo trochę nie rozumiem, co masz zrobić: pokazać, że zbiór domknięty jest domknięty, czy jak?

Wojtolino
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 263
Rejestracja: 2 sty 2010, o 12:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 17 razy

Dowód - domknięcie zbiorem domkniętym

Post autor: Wojtolino » 4 wrz 2010, o 15:50

Dokładnie:P
Domknięcie zbioru to zbiór wraz z jego punktami skupienia (\(\displaystyle{ \overline{A}=A \cup A'}\), gdzie A jest naszym zbiorem, A' zbiorem jego punktów skupienia, a \(\displaystyle{ \overline{A}}\) właśnie domknięciem zbioru A). Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ \overline{A}}\) jest domknięty (innymi słowy, że \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=\overline{A}}\).

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Dowód - domknięcie zbiorem domkniętym

Post autor: Wasilewski » 4 wrz 2010, o 16:14

Ok, załóżmy więc, że istnieje taki punkt \(\displaystyle{ x}\), że każde jego otoczenie przecina \(\displaystyle{ A\cup A^{\prime}}\). Dowiodę, że wówczas każde jego otoczenie przecina \(\displaystyle{ A}\). Rozważmy zatem dowolne otoczenie \(\displaystyle{ x}\). Jeśli ma ono niepustą część wspólną z \(\displaystyle{ A}\), to koniec; w przeciwnym wypadku musi zawierać jakiś element (nazwijmy go \(\displaystyle{ y}\)) z \(\displaystyle{ A^{\prime}}\). Skoro jednak zawiera \(\displaystyle{ y}\), to również pewne jego otoczenie, które oczywiście ma niepuste przecięcie z \(\displaystyle{ A}\), co kończy dowód.

Wojtolino
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 263
Rejestracja: 2 sty 2010, o 12:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 17 razy

Dowód - domknięcie zbiorem domkniętym

Post autor: Wojtolino » 4 wrz 2010, o 17:03

Czy tu x jest punktem skupienia \(\displaystyle{ \overline{A}}\)? Bo jeśli o to Ci chodzi, to musisz pokazać, że on istnieje. Założyłeś jego istnienie, czyli założyłeś domkniętość zbioru, którą trzeba pokazać... Chyba, że czegoś nie łapię

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Dowód - domknięcie zbiorem domkniętym

Post autor: Wasilewski » 4 wrz 2010, o 17:05

Przecież sprawdzam, że każdy punkt skupienia \(\displaystyle{ \overline{A}}\) jest w nim zawarty; nie muszę dowodzić istnienia takiego elementu. Jeśli nie istnieje żaden punkt skupienia \(\displaystyle{ \overline{A}}\), to nie ma żadnego problemu.

Wojtolino
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 263
Rejestracja: 2 sty 2010, o 12:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 17 razy

Dowód - domknięcie zbiorem domkniętym

Post autor: Wojtolino » 4 wrz 2010, o 17:08

No jak nie ma? Wtedy \(\displaystyle{ \overline{A}}\) jest otwarty jak nie ma punktów skupienia.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Dowód - domknięcie zbiorem domkniętym

Post autor: Wasilewski » 4 wrz 2010, o 17:11

Definicję masz taką, że zbiór jest domknięty, jeśli zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Ma więc zachodzić implikacja: jeśli x jest punktem skupienia A, to wówczas x należy do A. Zatem w przypadku, gdy A nie posiada punktów skupienia (pochodna jest pusta), to powyższa implikacja jest prawdziwa, czyli A jest domknięty.

ODPOWIEDZ