Matematyka.pl

Pokazać że ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{8}\cdot\ldots\cdot\frac{2^{n}+1}{2^{n}}}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ a\in(\frac{3}{2}\sqrt[4]{e},\frac{3}{2}\sqrt{e})}\).

czyli innymy słowy, że
\(\displaystyle{ b_n=\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{8}\cdot\ldots\cdot\frac{2^{n}+1}{2^{n}}}\)
ma granicę w przedziale \(\displaystyle{ (\sqrt[4]{e},\sqrt[2]{e})}\)
Teraz rozważ \(\displaystyle{ c_n=\ln b_n}\) i oszacuj tą sumę korzystając z nierówności \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x\leq \ln(1+x)\leq x}\), która działa dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\)