Liczbę zespoloną przedstaw w postaci algebraicznej.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
lanrof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 31 sie 2010, o 15:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Liczbę zespoloną przedstaw w postaci algebraicznej.

Post autor: lanrof » 3 wrz 2010, o 15:12

\(\displaystyle{ z={( \frac{1-i}{1+i} )}^9+{( \frac{2}{-1+i \sqrt{3} } )}^3}\)

Mógłby ktoś to rozwiązać? Wiem że trzeba pokombinować z podstawieniem sinusów, cosinusów itp. :/

Awatar użytkownika
Mistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 637
Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 135 razy

Liczbę zespoloną przedstaw w postaci algebraicznej.

Post autor: Mistrz » 3 wrz 2010, o 18:14

No, to po kolei. Najpierw zamienimy te ułamki na jakąś fajniejszą postać mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.
\(\displaystyle{ \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^9=(-i)^9=-i}\). Mamy pierwszy składnik.
\(\displaystyle{ \frac{2}{-1+i\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}\left(i\sqrt{3}+1\right)}\) Jaki tu jest moduł? Widać, że 1. Jaki argument? \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi}\). Czyli jak podniesiemy do 3. potęgi, to wyjdzie 1.
Mamy zatem \(\displaystyle{ \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^9+\left(\frac{2}{-1+i\sqrt{3}}\right)^3=1-i}\).

ODPOWIEDZ