[Nierówności] wykazanie nierówności
: 2 wrz 2010, o 15:10
Niech x,y>0 oraz \(\displaystyle{ 3(x+y) \ge 2(xy+1)}\).Wykaż \(\displaystyle{ 9(x^{3}+y^{3}) \ge x^{3}y^{3}+1}\)
Ukryta treść:
Wystarczy skorzystać z założeń zadania, wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i z oczywistej nierówności \(\displaystyle{ (a-b)^2\ge 0}\) prawdziwej dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\). Mianowicie:
\(\displaystyle{ 9(x^3+y^3)=3(x+y)(3x^2-3xy+3y^2) \ge (xy+1)(6x^2-6xy+6y^2)=\\=(xy+1)\left( 6(x+y)^2-18xy\right)=(xy+1)\left( \frac{9}{4}(x+y)^2+ \frac{15}{4}(x+y)^2-3xy-15xy \right) \ge \\ \ge \left( xy+1\right)\left( (xy+1)^2-3xy+\frac{15}{4}(x-y)^2\right) =\\=(xy+1)((xy)^2-xy+1)+\frac{15}{4}(xy+1)(x-y)^2\ge(xy+1)((xy)^2-xy+1)=(xy)^3+1}\)
\(\displaystyle{ 9(x^3+y^3)=3(x+y)(3x^2-3xy+3y^2) \ge (xy+1)(6x^2-6xy+6y^2)=\\=(xy+1)\left( 6(x+y)^2-18xy\right)=(xy+1)\left( \frac{9}{4}(x+y)^2+ \frac{15}{4}(x+y)^2-3xy-15xy \right) \ge \\ \ge \left( xy+1\right)\left( (xy+1)^2-3xy+\frac{15}{4}(x-y)^2\right) =\\=(xy+1)((xy)^2-xy+1)+\frac{15}{4}(xy+1)(x-y)^2\ge(xy+1)((xy)^2-xy+1)=(xy)^3+1}\)