metoda rozdzielania zmiennych

[tommy007]

\(\displaystyle{ e^{-y} (1+y')=1}\)
\(\displaystyle{ xy'+y=y^2}\)

[luka52]

Pierwsze:
\(\displaystyle{ 1 + \frac{dy}{dx} = e^y \\
\frac{dy}{e^y - 1} = dx \\
-y + \ln{|e^y - 1|} = x + C}\)

Drugie:
\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} = y^2 - y\\
\frac{dy}{y(y-1)} = \frac{dx}{x} \\
\ln{\left| \frac{y-1}{y} \right|} = \ln{|x|} + C}\)

[tommy007]

dzięki a mógłbyś jeszcze rozpisać jak obliczyłeś te całki?

[luka52]

W pierwszym i drugim r. mamy praktycznie tą samą całkę do obliczenia (wystarczy podstawić)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{e^y - 1} = t \frac{e^y dy}{e^y(e^y - 1)}}\)
Po podstawieniu t = exp(y):
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{t(t-1)} = - t \frac{dt}{t} + t \frac{dt}{t-1} = \ldots}\)

[Mariusz M]

Drugie równanie to równanie Bernoulliego
i można też przez zamianę zmiennych
a później czynnikiem całkującym albo
uzmiennianiem stałej