Granica funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
Jaume
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 6 lut 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Granica funkcji

Post autor: Jaume » 2 wrz 2010, o 11:09

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu bądź udzieleniu wskazówek w poniższych granicach:

1)\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0^{+} } x^{ctgx}}\) (ctg rozbijam na \(\displaystyle{ \frac{cosx}{sinx}}\) ale sinx nie może dążyć do zera w mianowniku, więc co się dzieje z sinx kiedy x dąży do 0 z prawej strony?)

2)\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } arctgx \cdot ln(1+x ^{2})}\)

3)\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } sinx \cdot \frac{lnx}{x ^{2} }}\)

miodzio1988

Granica funkcji

Post autor: miodzio1988 » 2 wrz 2010, o 11:11

1)\(\displaystyle{ a ^{b} =e ^{blna}}\)

3)Korzystamy ze znanych symboli nieoznaczonych

2)Zamieniamy iloczyn na iloraz

Awatar użytkownika
Jaume
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 6 lut 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Granica funkcji

Post autor: Jaume » 2 wrz 2010, o 12:10

Aha. A jeśli w pierwszym przykładzie użyłbym innego sposobu tzn.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} } x ^{ctgx} = \lim_{x \to 0 ^{+} } x ^{ \lim_{ x\to 0 ^{+} }ctgx } = 0}\) bo ctgx dążące do 0 z prawej strony jest równe nieskończoność a x dążace do zera jest coraz mniejszcze prawie równe zero wtedy całość dąży do 0 ?

miodzio1988

Granica funkcji

Post autor: miodzio1988 » 2 wrz 2010, o 12:11

\(\displaystyle{ 0 ^{0} =0}\)

To nie jest prawda. Jest to symbol nieoznaczony

Awatar użytkownika
Jaume
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 6 lut 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Granica funkcji

Post autor: Jaume » 2 wrz 2010, o 12:26

Czyli jeżeli pierwszy przykład jest równy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } e^{ctgx \cdot lnx}}\) to obliczam:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+} } ctgx \cdot lnx = \lim_{x \to 0^{+} } \frac{cosx}{ \frac{sinx}{x} } \cdot \frac{1}{x} \cdot lnx = \lim_{x \to 0^{+} } cosx \cdot \frac{lnx}{x} = 1 \cdot \frac{- \infty }{ 0^{+} } = - \infty}\)

a wtedy \(\displaystyle{ e^{- \infty } = 0 ?}\)

miodzio1988

Granica funkcji

Post autor: miodzio1988 » 2 wrz 2010, o 12:56

Jest ok.

Awatar użytkownika
Jaume
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 6 lut 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Granica funkcji

Post autor: Jaume » 2 wrz 2010, o 13:28

W tym trzecim przykładzie rozbijam iloczyn na iloraz i dzięki temu pozbywam się sinx ale pozostaje mi

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{lnx}{x} = \frac{ \infty }{ \infty }}\) - próbowałem regułą d'Hospitala ale non stop wychodzą mi symbole nieoznaczone. Jak to rozwiązać?

miodzio1988

Granica funkcji

Post autor: miodzio1988 » 2 wrz 2010, o 13:34

Jeden raz reguła de l ' Hospitala i wychodzi...

Fingon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 222
Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 32 razy

Granica funkcji

Post autor: Fingon » 2 wrz 2010, o 13:34

Z reguły d'Hospitala wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0}\).

Awatar użytkownika
Jaume
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 6 lut 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Granica funkcji

Post autor: Jaume » 2 wrz 2010, o 14:27

Tak, rzeczywiście. 2 przykład rozwiązałem bez problemu. Mam w sumie jeszcze jedno, ostatnie pytanie. Rozwiązałem wszystkie przykłady z książki i miałem niejasności z 2 przykładami. Wydaje mi się, że są błędny w odpowiedziach dlatego chciałem to z Tobą miodzio skonsultować.

1) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^{+} } e^{ -\frac{1}{1- x ^{4} } } = \lim_{ x\to 1^{+} } \frac{1}{e ^{ \frac{1}{1- x^{4} } } }}\)

Wykorzystuję zamianę wykładnika \(\displaystyle{ \frac{1}{1- x^{4} } = t}\) a gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 1^{+}}\) to \(\displaystyle{ t \rightarrow - \infty}\) bo \(\displaystyle{ \frac{1}{ 0^{-} } = - \infty}\) w związku z czym \(\displaystyle{ \frac{1}{e ^{- \infty } } = e^{ \infty } = \infty}\) a w książce podana odpowiedź to 0

2)\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } 7 ^{2x \cdot ctgx} = \lim_{x \to 0^{+} } e^{2x \cdot ctgx \cdot ln7}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } 2x \cdot ctgx \cdot ln7 = \lim_{x \to 0^{+} } 2x \cdot \frac{cosx}{sinx} \cdot ln7 = \lim_{x \to 0^{+} } 2 \cdot cosx \cdot ln7 = 2 \cdot ln7}\)

\(\displaystyle{ e^{ln 7^{2} } = 49}\) W odpowiedziach natomiast jest \(\displaystyle{ \sqrt[3]{49}}\)

miodzio1988

Granica funkcji

Post autor: miodzio1988 » 2 wrz 2010, o 14:32

to z Tobą miodzio skonsultować.
Oczywiście

\(\displaystyle{ 1- x^{4}}\)

Zrób sobie wykres tej funkcji i zobacz co się dzieje gdy idziemy do jedynki z prawej strony.

Awatar użytkownika
Jaume
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 6 lut 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Granica funkcji

Post autor: Jaume » 2 wrz 2010, o 15:16

Gdy zbliżam się iskami do jedynki z prawej strony to wartość funkcji zbliża się do 0 . X nie osiąga jedynki więc jest zawsze jakąś tam cząstkę większy od 1 np. 1.0000000...9 . Wszystkie wartości które przyjmuje funkcja dla x>1 są ujemne więc cokolwiek bym zrobił to 1-(1.0000....9)^4 <0 w przybliżeniu \(\displaystyle{ \frac{1}{- \infty }}\) a jeżeli występuje wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{- \infty } } = - \infty}\) Gdzie popełniam błąd w rozumowaniu ?

miodzio1988

Granica funkcji

Post autor: miodzio1988 » 2 wrz 2010, o 15:18

Nie ma. Dobrze zrobiłeś.

Awatar użytkownika
Jaume
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 6 lut 2010, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Granica funkcji

Post autor: Jaume » 2 wrz 2010, o 15:44

Czyli błąd w odpowiedziach. Dzięki ogromne za pomoc. Wydaję mi się że już załapałem sens zagadnienia granic funkcji.

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ