całka funkcji wymiernej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
sliwek69
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 2 lut 2010, o 00:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 5 razy

całka funkcji wymiernej

Post autor: sliwek69 » 2 wrz 2010, o 02:07

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{4x^{2} - 9x}{x^{4}+7x^{2}+18x+10 }dx}\)
Próbowałem ułamkami prostymi ale wyszły kosmiczne liczby, pomoże ktoś?
Ostatnio zmieniony 2 wrz 2010, o 03:04 przez sliwek69, łącznie zmieniany 1 raz.

pajong8888
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 231
Rejestracja: 29 lip 2010, o 00:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 38 razy

całka funkcji wymiernej

Post autor: pajong8888 » 2 wrz 2010, o 02:35

Tam na pewno jest 18? Nie przypadkiem 18x?-- 2 wrz 2010, o 02:40 --Bo jeśli jest 18x, to -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w mianowniku i wtedy rzeczywiście musisz z ułamków prostych. Kosmiczne liczby to jedna z atrakcji całkowania nie przejmuj się nimi, bo Ci lepszy wynik nie wyjdzie.

sliwek69
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 2 lut 2010, o 00:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 5 razy

całka funkcji wymiernej

Post autor: sliwek69 » 2 wrz 2010, o 03:04

Oczywiście jest 18x, przepraszam mój błąd.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6754
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

całka funkcji wymiernej

Post autor: mariuszm » 2 wrz 2010, o 06:29

sliwek69 pisze:\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{4x^{2} - 9x}{x^{4}+7x^{2}+18x+10 }dx}\)
Próbowałem ułamkami prostymi ale wyszły kosmiczne liczby, pomoże ktoś?
Mianownik możesz rozłożyć w ten sposób

\(\displaystyle{ x^{4}+7x^{2}+18x+10=0}\)

\(\displaystyle{ x^{4}=-7x^{2}-18x-10}\)

\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+ \frac{y}{2} \right) ^{2}= \left(y-7 \right)x ^{2}-18x+ \frac{y ^{2} }{4}-10}\)

\(\displaystyle{ 324= \left(y-7 \right) \left(y ^{4}-40 \right)}\)

\(\displaystyle{ y ^{3}-7y ^{2}-40y-44=0}\)

\(\displaystyle{ y=11}\)

\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+ \frac{11}{2} \right) ^{2}= 4x ^{2}-18x+ \frac{81}{4}}\)

\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+ \frac{11}{2} \right) ^{2}= \left(2x- \frac{9}{2} \right)^2}\)

\(\displaystyle{ \left( x ^{2}+ \frac{11}{2}\right) ^{2} - \left(2x- \frac{9}{2} \right)^2=0}\)

\(\displaystyle{ \left( x ^{2}+ \frac{11}{2}-2x+ \frac{9}{2} \right) \left(x ^{2}+ \frac{11}{2}+2x- \frac{9}{2} \right) =0}\)

\(\displaystyle{ \left( x ^{2}-2x+ 10 \right) \left(x ^{2}+2x+1 \right) =0}\)


\(\displaystyle{ x^{4}+7x^{2}+18x+10=\left( x ^{2}-2x+ 10 \right) \left(x ^{2}+2x+1 \right)}\)

A dalej to już ułamki proste

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{A}{x+1} \mbox{d}x }+ \int{ \frac{B}{ \left(x+1 \right) ^{2}} \mbox{d}x }+ \int{ \frac{Cx+D}{x ^{2}-2x+10 } \mbox{d}x }}\)

Z pierwszej całki powinieneś dostać logarytm
Z drugiej całki prinieneś dostać ułamek
Z trzeciej całki powinieneś dostać sumę logarytmu i arcusa (tangensa/cotangensa)

Podstawień już raczej nie musisz stosować (a jeśli nawet to takie które łatwo w pamięci wykonasz)

ODPOWIEDZ