wartosc srednia funkcji

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
zibi79
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 8 sty 2010, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 1 raz

wartosc srednia funkcji

Post autor: zibi79 » 1 wrz 2010, o 23:33

Prosze o pomoc w rozwiazaniu zadania:

Wyznacz wartosc srednia funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= x^2 + y^2}\) na obszarze

\(\displaystyle{ D=\left\{(x,y): x \le y \le x+2, 2 \le x \le 3\right\}}\). Z gory dziekuje.
Ostatnio zmieniony 2 wrz 2010, o 10:29 przez scyth, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Czy top boli gdy wstawiasz tagi [latex] wokół równań?

pajong8888
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 231
Rejestracja: 29 lip 2010, o 00:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 38 razy

wartosc srednia funkcji

Post autor: pajong8888 » 2 wrz 2010, o 01:22

\(\displaystyle{ f(c_1,c_2)=\frac{ \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} f(x,y)dxdy}{ \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} dxdy}}\)
Czyli całka z tej funkcji po tym obszarze prze pole tego obszaru. Interpretacja geometryczna będzie taka, że objętość bryły ograniczonej tą funkcją w tym obszarze a płaszczyzną OXY (gdy ta funkcja jest nieujemna, gdy istnieją w podanym obszarze punkty dal których funkcja jest ujemna, wtedy różnica objętości brył ponad płaszczyzną OXY i pod tą płaszczyzną) jest równa iloczynowi pola tego obszaru i wartości średniej tej funkcji, jako "średniej wysokości".

\(\displaystyle{ \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} f(x,y)dxdy= \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} (x^2+y^2)dxdy= \int_{2}^{3} x^2dx \int_{x}^{x+2}dy+ \int_{2}^{3} dx \int_{x}^{x+2} y^2dy= \int_{2}^{3} 2x^2dx+\frac{1}{3} \int_{2}^{3} (6x^2+12x+8)dx=38}\)
Całkę oblicz już sam i sprawdź bo na szybkiego to obliczyłem.
\(\displaystyle{ \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} dxdy= \int_{2}^{3} 2dx=6-4=2}\)
\(\displaystyle{ f(c_1,c_2)=\frac{38}{2}=19}\)
19 to średnia wartość tej funkcji na tym obszarze.

ODPOWIEDZ