Matematyka.pl

Czy zaprzeczenie kongruencji ma takie same własności jak normalna kongruencja?
Przykładowo czy jeśli \(\displaystyle{ a\not\equiv b\pmod{p}}\), to czy prawdą jest że np. \(\displaystyle{ am\not\equiv bm\pmod{p}}\) albo że \(\displaystyle{ a^m\not\equiv b^m\pmod{p}}\) ?

Niestety czegoś takiego nie ma- kontrprzykład:

Weźmy \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ p\in\mathbb{P}}\) takie, że \(\displaystyle{ p\nmid ab}\) oraz \(\displaystyle{ a\not\equiv b\pmod{p}}\). Mamy za to z małego twierdzenia Fermata \(\displaystyle{ a^{p-1}\equiv 1\equiv b^{p-1}\pmod{p}}\).

Co do mnożenia- możesz mnożyć tylko razy liczbę względnie pierwszą z \(\displaystyle{ n}\), tj.
jeżeli \(\displaystyle{ (c,n)=1}\), to \(\displaystyle{ a\not\equiv b\pmod{n}\Leftrightarrow ac\not\equiv bc \pmod{n}}\)