Pochodna kierunkowa w kierunku z osią OX

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
tomzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 sie 2010, o 15:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Pochodna kierunkowa w kierunku z osią OX

Post autor: tomzi » 1 wrz 2010, o 12:12

Witam,

mam takie zadanie:

Oblicz pochodną kierunkową funkcji

\(\displaystyle{ f(x,y)=2x^{2}-3y^{2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ P_{0} = (1,0)}\)
w kierunku tworzącym z osią \(\displaystyle{ OX}\) kąt \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi}\)

mój problem jest mniej więcej taki:
liczę gradient funkcji, później podstawiam punkt P a dalej... kaplica...
wiem jak zrobić w kierunku wektora, czy w kierunku prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale tego przypadku nie mam pojęcia jak dalej ruszyć.

z góry bardzo dziękuję

Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

Pochodna kierunkowa w kierunku z osią OX

Post autor: meninio » 1 wrz 2010, o 16:43

Musisz wziąć dowolny wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\), który z osią OX, czyli z wektorem \(\displaystyle{ [1,0,0]}\) będzie tworzył kąt \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\).
Zadanie sprowadza się do znalezienia jakiegoś wektora mając dany inny wektor i kąt między nimi.
Podpowiedź: skorzystaj np. z iloczynu skalarnego.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Pochodna kierunkowa w kierunku z osią OX

Post autor: janusz47 » 1 wrz 2010, o 17:32

[quote="janusz47"]
Równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(1,0)}\) i nachylonej do osi Ox pod kątem \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\)
\(\displaystyle{ y = \tg(\frac{2}{3}\pi)(x -1)= -\sqrt{3}(x-1)}\)
Znajdujemy dowolny punkt P' leżący do prostej np. \(\displaystyle{ ( 2, -\sqrt{3})}\)
Obliczamy współrzędne wektora \(\displaystyle{ \overline{P'P}}\)
\(\displaystyle{ \overline{P'P} = \left[ 1 -2, 0 -(-\sqrt{3}) \right] = \left[ -1, \sqrt{3}\right].}\)
Możemy znaleźć wersor kierunku \(\displaystyle{ \overline{n}}\), normując wektor \(\displaystyle{ \overline{P'P}}\)
\(\displaystyle{ \overline{n} = \left[ -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ f_|\overline{v}^{'}(p) = gradf(p)\cdot \overline{n} = [ 4\cdot 1, -6\cdot 0] \cdot \left[ -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right] =[4, 0]\cdot \left[ -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right] = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= -2 +0 = -2.}\)
[/quote]

Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

Pochodna kierunkowa w kierunku z osią OX

Post autor: meninio » 1 wrz 2010, o 18:20

Aha i jeszcze jedno odnośnie treści zadania: podana w treści funkcja jest funkcją dwu zmiennych, więc jesteśmy w przestrzeni trójwymiarowej, a więc punkt \(\displaystyle{ P_0}\) powinien mieć trzy współrzędne.
I taka sama uwaga odnośnie rozwiązania przez kolegę janusz47.

tomzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 sie 2010, o 15:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Pochodna kierunkowa w kierunku z osią OX

Post autor: tomzi » 3 wrz 2010, o 12:11

Dzięki wielkie, wszystko już jasne

ODPOWIEDZ