Granica z pierwiastkiem

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
kurczaknz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 31 sie 2010, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łodz

Granica z pierwiastkiem

Post autor: kurczaknz » 2 wrz 2010, o 21:43

Afish pisze:Wynik ok.
reszta nie .?

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Granica z pierwiastkiem

Post autor: Afish » 2 wrz 2010, o 21:55

Zapis mógłby być lepszy. Nie możesz sobie wyliczyć granic jedynie kilku wyrażeń. Albo znikają wszystkie eny, albo wszystkie zostają. Innymi słowy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{4}{ \sqrt{n^{2} \left( 1+ \frac{3}{n^{2}} \right) }+ \sqrt{n^{2} \left(1- \frac{1}{n^{2}} \right) }}}\)
Pierwiastkujemy ena:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{4}{ n\sqrt{1+ \frac{3}{n^{2}} }+ n\sqrt{1- \frac{1}{n^{2}} }}}\)
I teraz w jednym momencie znikają wszystkie eny. Zostaje nam:
\(\displaystyle{ \frac{4}{ \infty + \infty} = 0}\)

kurczaknz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 31 sie 2010, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łodz

Granica z pierwiastkiem

Post autor: kurczaknz » 2 wrz 2010, o 22:38

ale to nie jest bład ..? bo wtedy sie lepiej widzi no ale mozna odrazu
ten przyklad chyba poknocilem
\(\displaystyle{ d)\lim_{n \to \infty } \sqrt{n ^{4}-2n ^{2}+5 } - \sqrt{n ^{4}+4n ^{2} }=\lim_{n \to \infty } \frac{ \left( \sqrt{n ^{4}-2n ^{2}+5 } - \sqrt{n ^{4}+4n ^{2} } \right) \left( \sqrt{n ^{4}-2n ^{2}+5 } + \sqrt{n ^{4}+4n ^{2} } \right)} { \sqrt{n ^{4}-2n ^{2}+5 } + \sqrt{n ^{4}+4n ^{2} }} =\lim_{ n\to \infty } \frac{n^{4}-2n^{2}+5-n^{4}-4n^{2}}
{ \sqrt{n^{4} \left( 1- \frac{2}{n^{2}}+ \frac{5}{n^{4}} } \right)} + \sqrt{n^{4} \left( 1+ \frac{4}{n^{2}} \right) } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{-6n^{2}+5}{n^{2} \left( \sqrt{\left( 1- \frac{2}{n^{2}}+ \frac{5}{n^{4}} } \right)} + \sqrt{\left( 1+ \frac{4}{n^{2}} \right) \right)} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{n^{2} \left(-6+ \frac{5}{n^{2}} \right) }{{n^{2} \left( \sqrt{\left( 1- \frac{2}{n^{2}}+ \frac{5}{n^{4}} } \right)} + \sqrt{\left( 1+ \frac{4}{n^{2}} \right) \right)}}= \frac{-6}{1+1}=-3}\)


\(\displaystyle{ e) \lim_{ n\to \infty } \sqrt{3n^{4}-2}- \sqrt{n^{4}+3}=\lim_{ n\to \infty } \frac{ \left( \sqrt{3n^{4}-2}- \sqrt{n^{4}+3}\right) \left( \sqrt{3n^{4}-2}+ \sqrt{n^{4}+3}\right) }{\sqrt{3n^{4}-2}+ \sqrt{n^{4}+3}}= \lim_{ n\to \infty } \frac{n^{4}-2-n^{4}+3}{n^{2} \left( \sqrt{3- \frac{2}{n^{4}}}+ \sqrt{1+ \frac{3}{n^{4}} } \right)} = \lim_{ n\to \infty } \frac{2n^{4}-5}{2n^{2}}
= \lim_{n \to \infty } \frac{n^{2}-5}{1}= \lim_{n \to \infty } \frac{n^{2} \left(1- \frac{5}{n^{2
}} \right) }{1}= \frac{ \infty }{1}= \infty}\)


\(\displaystyle{ f) \lim_{ n\to \infty } \sqrt{n-1} - \sqrt{n^{2}+2n-1}= \lim_{n \to \infty } \frac{ \left( \sqrt{n-1} - \sqrt{n^{2}+2n-1} \right) \left( \sqrt{n-1} + \sqrt{n^{2}+2n-1} \right) }{ \sqrt{n-1} + \sqrt{n^{2}+2n-1}}= \lim_{ n\to \infty } \frac{n-1-n^{2}-2n+1}{ \sqrt{n-1} - n\sqrt{ \left( 1+ \frac{2}{n} + \frac{1}{n ^{2} } \right) }}= \lim_{n \to \infty } \frac{n^{2} \left(- \frac{1}{n}-1 \right) }{\sqrt{n-1} + n\sqrt{ \left( 1+ \frac{2}{n} + \frac{1}{n ^{2} } \right) }}= \frac{ \infty }{1+ \infty } \Leftarrow tutaj. nie. mam. pomyslu}\)

ODPOWIEDZ