Znaleźc pochodną kierunkową funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Tyson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 21 sty 2010, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Znaleźc pochodną kierunkową funkcji

Post autor: Tyson » 31 sie 2010, o 14:12

\(\displaystyle{ \[U = y^2 - 2xz +3\]}\)
w punkcie \(\displaystyle{ \[M(-1;2;-1)\]}\) w kierunku tworzącym jednakowe kąty ze wszystkimi osiami układu współrzędnych.

Wiem, że trzeba obliczyć pochodne po x,y,z potem podstawic je do gradientu i pomnozyc przez wartosci punktu.. ale co dalej?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6601
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1427 razy

Znaleźc pochodną kierunkową funkcji

Post autor: janusz47 » 31 sie 2010, o 15:09

janusz47 pisze: \(\displaystyle{ gradf(U)= [ -2z, 2y, -2x]= 2[-z, y, -x].}\)
\(\displaystyle{ \overline{v} = \left[ \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right]}\)
\(\displaystyle{ f^{'}(M)_|\overline{v}= gradf(M)\cdot \overline{v}= 2 \left [1, 2, 1\right] \cdot \left[ \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right] = \frac{8}{3}\sqrt{3}}\)

Tyson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 21 sty 2010, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Znaleźc pochodną kierunkową funkcji

Post autor: Tyson » 31 sie 2010, o 16:29

Dzięki, ale możecie objaśnić skąd ten wektor się wziął i czemu akurat to tak się robi?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6601
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1427 razy

Znaleźc pochodną kierunkową funkcji

Post autor: janusz47 » 31 sie 2010, o 19:12

janusz47 pisze: Jest to wektor jednostkowy
\(\displaystyle{ \| \overline{v} \| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}+ (\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}} = 1,}\)
który tworzy z osiami prostokątnego układu współrzędnych w \(\displaystyle{ R^{3}}\) kąty o mierze
\(\displaystyle{ \alpha = \arccos( \frac{\sqrt{3}}{3})}\)
Skorzystaliśmy z wygodnego wzoru na pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora \(\displaystyle{ \overline{v}}\) w punkcie p
\(\displaystyle{ f_{|\overline{v}}^{'}(p) = gradf(p)\cdot \overline{v}}\)
Można też skorzystać z definicji pochodnej kierunkowej jako granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{f(p +t\overline{v}) - f(p)}{t}}\)

Tyson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 21 sty 2010, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Znaleźc pochodną kierunkową funkcji

Post autor: Tyson » 31 sie 2010, o 20:44

I teraz wszystko jasne. Dzięki

ODPOWIEDZ