Słabe prawo wielkich liczb

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

Słabe prawo wielkich liczb

Post autor: Zordon » 31 sie 2010, o 13:07

1. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)_n}\):
\(\displaystyle{ P(X_n=n^a)=P(X_n=-n^a)= \frac{1}{2}}\)
Sprawdzić dla jakich \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi SPWL.

Tutaj doszedłem do tego, że dla \(\displaystyle{ a< \frac{1}{2}}\) zachodzi, natomiast dla \(\displaystyle{ a\geq 1}\) już nie zachodzi. Niestety nie wiem jak to dokończyć.

2. To samo pytanie dla MPWL.

3. Oraz zadanie z 43599.htm. Mam nadzieję, że Emiel Regis się nie obrazi:
Emiel Regis pisze:Pokazać że dla ciągu \(\displaystyle{ \{X_n\}}}\) niezaleznych zmiennych losowych nie zachodzi mocne prawo wielkich liczb. Oraz co już trudniejsze, zbadać czy zachodzi słabe prawo wielkich liczb.
\(\displaystyle{ P(X_n=-n)=P(X_n=n)=\frac{1}{2} \cdot n^{-\frac{1}{2}} \\ P(X_n=0)=1-n^{-\frac{1}{2}}\)
Tutaj potrafię sprawdzić, że nie ma MPWL. Ale nie wiem co z SPWL.

4. Aha, no i jeszcze to (pochodzi z 127494.htm). Mam wrażenie, że podana tam wskazówka nie działa...
xtremalny pisze: Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, ...}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi i niech zmienna \(\displaystyle{ X_k}\) ma rozklad normalny \(\displaystyle{ N(0,k)}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...}\). Sprawdzić czy ciąg tych zmiennych spełnia mocne lub słabe prawo wielkich liczb. Sprawdziłem już, ze ten ciąg nie spełnia kryteriów na zachodzenie wielkiego i słabe prawa wielkich liczb, ale nie wiem jak sprawdzić to z definicji. Będe wdzięczny za każdą wskazówke

Awatar użytkownika
Majorkan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 128
Rejestracja: 14 paź 2007, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków/Jasło
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 33 razy

Słabe prawo wielkich liczb

Post autor: Majorkan » 31 sie 2010, o 22:40

Odnośnie problemów 1. i 2.

Z nierówności Markowa \(\displaystyle{ P(|S_n| \ge n\varepsilon) \le \frac{1}{n^4\varepsilon^4}E(|S_n|^4)}\).
Oszacujmy \(\displaystyle{ E(|S_n|^4)}\).
\(\displaystyle{ E(|S_n|^4) = \sum E(X_h X_j X_k X_l)}\) przy czym ponieważ nasze zmienne są niezależne i \(\displaystyle{ E(X_j)=0}\) to z tej sumy zostanie tylko \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} E(X_k^4)+6 \sum_{j<l} E(X_j^2)E(X_l^2)}\). Szacując wszystkie składniki przez \(\displaystyle{ n^{4a}}\) dostajemy
\(\displaystyle{ E(|S_n|^4) \le K \cdot n^2 \cdot n^{4a}}\)
gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest pewną stałą.

Zatem \(\displaystyle{ P(|S_n| \ge n\varepsilon) \le \frac{1}{\varepsilon^4}Kn^{4a-2}}\).
Stąd dostajemy, że dla \(\displaystyle{ a<\frac{1}{2}}\) jest spełnione SPWL, ale możemy też wyciągnąć jakiś wniosek co do MPWL.

Mianowicie, dla \(\displaystyle{ a<\frac{1}{4}}\) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\varepsilon^4}Kn^{4a-2}}\) jest zbieżny, a więc szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}P(|S_n| \ge n\varepsilon)}\) również.
Z lematu Borela-Cantelliego mamy \(\displaystyle{ P( \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} \{\frac{|S_n|}{n} \ge \varepsilon \})=0}\).
Stąd \(\displaystyle{ P( \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} \{\frac{|S_n|}{n} < \varepsilon \})=1}\) (dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\)).
Biorąc przecięcie po epsilonach wymiernych dostajemy MPWL.

Niestety dalej nie wiem jak.

---
Edit:
Można poprawić trochę to szacowanie.
Biorąc nierówność Markowa dla pewnej liczby parzystej \(\displaystyle{ 2m}\) musimy oszacować \(\displaystyle{ E(|S_n|^{2m})}\).
Kluczowe są te składniki sumy \(\displaystyle{ \sum E(X_h X_j \cdot ... \cdot X_l)}\) w których jest \(\displaystyle{ m}\) różnych par takich samych indeksów, bo jest ich \(\displaystyle{ {n \choose m}}\) czyli wielkość rzędu \(\displaystyle{ n^m}\) (wszystkie pozostałe niezerujące się składniki dają wielkości mniejszego rzędu). Szacując tym razem iloczyny momentów przez \(\displaystyle{ n^{2ma}}\) dostaniemy szacowanie
\(\displaystyle{ E(|S_n|^{2m}) \le K \cdot n^m \cdot n^{2ma}}\)
czyli
\(\displaystyle{ P(|S_n| \ge n\varepsilon) \le \frac{K}{\varepsilon^{2m}}n^{2ma-m}}\)
Żeby ciąg po prawej zmierzał do zera musi być \(\displaystyle{ 2ma-m<0}\) czyli nie dostaniemy żadnego nowego wyniku co do SPWL, ale aby szereg o takim wyrazie był zbieżny potrzeba \(\displaystyle{ 2ma-m<-1}\), czyli \(\displaystyle{ a < \frac{m-1}{2m}}\).
Biorąc dowolnie duże \(\displaystyle{ m}\) dostajemy MPWL dla \(\displaystyle{ a<\frac{1}{2}}\).-- 6 września 2010, 18:27 --Próbując podejść do problemu 1 innym sposobem, udało mi się ponownie udowodnić to samo
Napiszę co zrobiłem, może komuś się przyda albo ktoś jakoś rozwinie ten argument aby rozwiązać zadanie w całości...

Skorzystamy z dwóch znanych faktów:
1. Zbieżność \(\displaystyle{ \frac{S_n}{n} \to 0}\) według prawdopodobieństwa (stochastyczna) jest równoważna zbieżności \(\displaystyle{ \frac{S_n}{n} \to 0}\) według rozkładu.
2. Zbieżność według rozkładu jest równoważna zbieżności punktowej funkcji charakterystycznych.

Funkcja charakterystyczna zmiennej \(\displaystyle{ X_n}\) dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ \varphi_n (t)=E(e^{itX_n})=\frac{1}{2}e^{itn^a}+\frac{1}{2}e^{-itn^a}=\cos{(tn^a)}}\)
Skoro zmienne \(\displaystyle{ (X_n)_n}\) są niezależne, to funkcja charakterystyczna sumy \(\displaystyle{ S_n}\) to \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \varphi_k(t)}\)
W konsekwencji, zmienna \(\displaystyle{ \frac{S_n}{n}}\) ma funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \varphi_k(\frac{t}{n})}\)
Z kolei zmienna stale równa 0 będzie miała funkcję charakterystyczną stale równą 1.

Aby pokazać, że \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \varphi_k(\frac{t}{n}) \to 1}\), skorzystamy z kolejnych dwóch, tym razem nieco mniej znanych, faktów Dowody obydwu można znaleźć np. w książce Billingsleya "Prawdopodobieństwo i miara" w dziale o funkcjach charakterystycznych i CTG.
3. Dla liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_1,...,z_m, w_1,...,w_m}\) o module co najwyżej 1 zachodzi \(\displaystyle{ |\prod_{k=1}^{m}z_k - \prod_{k=1}^{m}w_k| \le \sum_{k=1}^{m} |z_k-w_k|}\).
4. Dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) mającej funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \varphi}\) zachodzi szacowanie:
\(\displaystyle{ |\varphi(t)-\sum_{k=0}^{n} \frac{(it)^k}{k!}E(X^k)| \le E(\frac{|tX|^{n+1}}{(n+1)!})}\)


Teraz szacujemy korzystając z 3.
\(\displaystyle{ |\prod_{k=1}^{n} \varphi_k(\frac{t}{n}) - 1| \le \sum_{k=1}^{n} |\varphi_k(\frac{1}{n})-1|}\)
Następnie dla ustalonego k korzystamy z własności 4. (dla \(\displaystyle{ n=1}\)) dodatkowo wykorzystując fakt, że \(\displaystyle{ E(X_k)=0}\):
\(\displaystyle{ |\varphi_k(\frac{t}{n}) - 1| = |\varphi_k(\frac{t}{n}) - 1 - \frac{1}{n}itE(X_k)| \le E(\frac{1}{2} |\frac{t}{n}|^2X_k^2)= \frac{t^2}{2n^2}k^{2a}}\)
Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ k \le n}\) mamy \(\displaystyle{ k^{2a} \le n^{2a}}\) to możemy oszacować:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} |\varphi_k(\frac{1}{n})-1| \le n \cdot \frac{t^2}{2n^2}n^{2a}= \frac{t^2}{2}n^{2a-1}}\)
Końcowe wyrażenie dąży do zera dla \(\displaystyle{ 2a-1<0}\), to jest dla \(\displaystyle{ a < \frac{1}{2}}\), czyli dostaliśmy to co wcześniej, tyle że zupełnie innym sposobem
Niestety, nie widzę w tym momencie sposobu na ulepszenie tej metody w celu uzyskania jakiegoś lepszego wyniku. Korzystanie z nierówności 4. dla innych n nie wydaje się przynosić niczego dobrego.

Swoją drogą, Zordon, jak Ty do tego podchodziłeś? W szczególności, jak pokazałeś, że dla \(\displaystyle{ a \ge 1}\) SPWL nie zachodzi?

ODPOWIEDZ