Matematyka.pl

Znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ n \in N}\) że wielomian \(\displaystyle{ (x^{4}-1)^{n}+(x^{2}-x)^{n}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^{5}-1.}\)

Odkopuje.

Niech \(\displaystyle{ z}\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ z^5-1}\) wówczas \(\displaystyle{ (z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1) =0}\).
\(\displaystyle{ (x^4-1)^n+(x^2-x)^{n}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-1)}\).
Aby był podzielny przez \(\displaystyle{ x^5-1}\) musi zachodzić także \(\displaystyle{ (z^4-1)^n+(z^2-z)^{n}=0}\) dla pierwiastków \(\displaystyle{ x^5-1}\) innych niż \(\displaystyle{ 1}\), (spełniają one \(\displaystyle{ z^4+z^3+z^2+z+1=0}\)).

Wówczas:
\(\displaystyle{ 0=(z^4-1)^n+(z^2-z)^{n} = (z-1)^n((z^3+z^2+z+1)^n+z^n) = (z-1)^n((-z^{4})^{n}+z^n)= z^n(z-1)^n(1+(-1)^{n} z^{3n})}\) \(\displaystyle{ z \neq 0, z \neq 1}\) zatem: \(\displaystyle{ 0=1+(-1)^{n} z^{3n}}\) każdy pierwiastek inny niż \(\displaystyle{ 1}\) spełnia ostatnią równość dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\), podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\).