Matematyka.pl

Nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x = 1 \vee 0}\), dlatego dalej będę zakłądał, że \(\displaystyle{ 0 < x < 1}\).
Zacznijmy od tego, że jeśli \(\displaystyle{ 0 < x < 1}\), to \(\displaystyle{ 0 < x^{n+1} < x^n}\), z czego wynika, że \(\displaystyle{ 0 < x^n < x}\) z czego będziemy korzystać do końca.
\(\displaystyle{ \left(1-x+\frac{x^2}{2}\right)^n-\left(1-x\right)^n\le\frac{x}{2}.}\)
Zwiększamy wartość lewej strony nierówności pozbywając się potęgi
\(\displaystyle{ \left(1-x+\frac{x^2}{2}\right)-\left(1-x\right)^n\le\frac{x}{2}.}\)
i przenosimy pierwszy nawias na drugą stronę nierówności
\(\displaystyle{ -\left(1-x\right)^n\le - \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}x - 1}\)
Zmniejszamy prawą stronę nierówności wstawiając \(\displaystyle{ \frac{3}{2}x^2}\), zamiast \(\displaystyle{ \frac{3}{2}x}\), w efekcie otrzymujemy
\(\displaystyle{ -\left(1-x\right)^n\le x^2 - 1}\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ \left(1-x\right)^{n-1}\le x + 1}\) co oczywiście jest prawdą.

\(\displaystyle{ \Bigl(1-x+\frac{x^2}{2}\Bigr)^n-\Bigl(1-x\Bigr)^n\le\frac{x}{2}}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ t=1-x}\), wówczas \(\displaystyle{ t\in[0,1]}\), zaś nierówność przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \left( \frac 1 2+\frac 1 2t^2\right)^n -t^n \le \frac{1-t}{2}}\)
lub jak kto woli
\(\displaystyle{ (1+t^2)^n-(2t)^n\le 2^{n-1}(1-t)}\)
a jeszcze inaczej - wzór na różnicę n-tych potęg:
\(\displaystyle{ (1-t) \sum_{k=0}^{n-1}(1+t^2)^{n-1-k}(2t)^{k} \le 2^{n-1}}\)
(oczywiście dla \(\displaystyle{ t=1}\) nierówność działa, dla \(\displaystyle{ tin[0, 1)}\) można ją tak jak wyżej przedstawić)
ale to jest jakiś trywiał, gdyż dla \(\displaystyle{ t\in(0,1)}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-t} \cdot 2^{n-1}= \sum_{k=0}^{ \infty }t^k 2^{n-1}\ge \sum_{k=0}^{n-1}t^k 2^{n-1}= \sum_{k=0}^{n-1} 2^{n-1-k} (2t)^k \ge \sum_{k=0}^{n-1}(1+t^2)^{n-1-k}(2t)^k}\)
bo \(\displaystyle{ 2\ge 1+t^2}\)…


To kończy dowód. Może da się też ze średnich, bo to co napisałem jest niestety mocno toporne.