Matematyka.pl

obliczyc granice, mozna tutaj zastosować d"Hospitala ale może jest jakiś inny sposób który ułatwi to zadanie: prosze o pomoc

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } \frac{ln(2^x+1)}{ln(3^x+1)}}\)

Ten przykład jest ewidentnie ułozony pod de L'Hospitala

no tak, ale:

\(\displaystyle{ = [\frac{ \infty }{ \infty }] = \lim_{ x\to- \infty } \frac{ \frac{1}{2^x+1} \cdot 2^x ln2 }{ \frac{1}{3^x+1} \cdot 3^x ln3} =}\)

jak to teraz uprościć?

Podzielić przez najbardziej "zbiegającą część mianownika" wszystko

tzn przez \(\displaystyle{ 3^x}\)?

Zgadza się.

(miodzio zwróć uwagę że granica w MINUS nieskończoności)

szczerze to tego nie zauważyłem ;]

racja, racja;]

Z uwagi na to że jest to granica do MINUS nieskończoności zrobiłbym tak:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty } \frac{ \frac{1}{2^x+1} \cdot 2^x ln2 }{ \frac{1}{3^x+1} \cdot 3^x ln3} = \frac{ln2}{ln3} \cdot \lim_{ x\to- \infty } \frac{ (3^x+1) \cdot 2^x}{ (2^x+1) \cdot 3^x} = \frac{ln2}{ln3} \cdot \lim_{ x\to- \infty } \frac{ 6^x+2^x}{ 6^x + 3^x} =}\)
Dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 2^x}\)

\(\displaystyle{ log_32 \cdot \lim_{ x\to- \infty } \frac{ 3^x+1}{ 3^x + \left[ \frac{3}{2} \right]^x} =}\)

dla a>1
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty } a^x = 0}\) a żeby byc dokładniejszym przy określaniu wyniku naszej granicy to \(\displaystyle{ \left[ 0^+ \right]}\)

dzięki za pomoc