Niezrozumiałe rozwiązanie zadania z kombinatoryki

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
koztek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 23 paź 2008, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pabianice
Podziękował: 1 raz

Niezrozumiałe rozwiązanie zadania z kombinatoryki

Post autor: koztek » 29 sie 2010, o 16:34

Witam oto tresc zadania, umieszczamy losowo 10 kul w trzech ponumerowanych szufladach. Oblicz prawdopodobienstwo ze zadna szuflada nie bedzie pusta gdy kule sa jednobarwne.

Mam po czesci rozwiazane to zadanie ale kompletnie nie rozumiem tego toku myslenia mam rysunek
3 szuflady w dwoch po 3 i w jednej 4 kulki i nagle jakies dziwne przejscie ze w sumie w szufladach jest 12 miejsc i szuflady sa odgrodzone patyczkami wyglada to mniej wiecej tak

ooo | ooo | oooo -12 miejsc i dwa patyczki po czym jest wyjasnienie ze z 12 miejsc wybieramy 2 miejsca gdzie wstawiamy patyczki i kolejne czary mamy i rospisana kombinacja

omega= \(\displaystyle{ {12 \choose 6}}\) i wynik 66 co za chiny nie wychodzi prosze o pomoc ze zrozumieniem tego zadania

irena_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 496
Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 122 razy

Niezrozumiałe rozwiązanie zadania z kombinatoryki

Post autor: irena_1 » 29 sie 2010, o 17:12

Ja to rozumiem tak: kule są nierozróżnialne, interesuje Cię tylko ilość kul w każdej z szuflad. Te "patyczki" to przegródki między szufladami, dzielące 10 kulek na 3 zbiory. Stąd 12 "miejsc". Żadna z szuflad nie może być pusta, więc pałeczki nie można postawić na początku (bo to oznacza, że pierwsza szuflada jest pusta), na końcu (bo wtedy trzecia szuflada jest pusta). Dwóch pałeczek nie można też postawić obok siebie (bo wtedy środkowa szuflada jest pusta).

Wszystkich możliwości ustawienia dwóch pałeczek na 12 różnych miejscach jest więc (według mnie)
\(\displaystyle{ {12 \choose 2}}\).

Jeśli nie chcemy stawiać żadnej z pałeczek na początku i na końcu, to mamy do wyboru 10 miejsc, czyli \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\), ale z tego trzeba wyrzucić te pary, które są obok siebie. Takich możliwości jest 9 (2 i 3, 3 i 4, ... ,9 i 10, 10 i 11)

Prawdopodobieństwo byłoby więc równe:
\(\displaystyle{ \frac{ {10 \choose 2} -9}{ {12 \choose 2} }=\frac{45-9}{66}=\frac{36}{66}=\frac{6}{11}}\)

ODPOWIEDZ