Nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci...

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
atimor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 91
Rejestracja: 9 mar 2009, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 13 razy

Nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci...

Post autor: atimor » 28 sie 2010, o 19:14

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ [n+\sqrt{n}]}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ [x]}\) oznacza największą liczbę naturalną nie większą niż \(\displaystyle{ x}\).

Zadanie sprowadza się do udowodnienia, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{M}}\) jest zbiorem liczb naturalnych postaci \(\displaystyle{ n^2+n-1}\), to zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{N}\backslash\mathbb{M}}\) zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Awatar użytkownika
SaxoN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

Nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci...

Post autor: SaxoN » 28 sie 2010, o 21:13

Jeżeli jest to równoważne drugiemu stwierdzeniu, to jest prosto. Z twierdzenia Dirichleta wiemy, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 5n+3}\), zaś \(\displaystyle{ n^2+n-1\equiv 0,1,4\pmod{5}}\).

ODPOWIEDZ