Matematyka.pl

Pokaż że funkcja \(\displaystyle{ f\in C^{1}\bigl((0,+\infty)\bigr)}\) której pochodna spełnia warunek \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{1+x^{4}+\cos f(x)},\, x>0}\), jest ograniczona w \(\displaystyle{ (0,+\infty).}\)

Co myślicie o takim rozwiązaniu:

Po pierwsze łatwo wykazać, że gdy \(\displaystyle{ x\to\infty}\) to \(\displaystyle{ |f(x)|<C}\) dla pewnego C.
Z ciągłości \(\displaystyle{ f}\) bowiem dla \(\displaystyle{ t>1}\) mamy
\(\displaystyle{ \int_{1}^{t}f'(x)dx=f(t)-f(1)=\int_{1}^{t}\frac{1}{1+x^4+\cos(f(x))}dx\leq\int_{1}^{t}\frac{1}{x^4}dx}\)
Dlatego
\(\displaystyle{ |f(t)|\leq |f(1)|+\frac{1}{3t^3}}\)
Poza tym zauważmy, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca, bo ma dodatnią pochodną \(\displaystyle{ \forall x\in(0,\infty)}\)
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ f(x)\to-\infty}\), gdy \(\displaystyle{ x\to 0}\) . Istnieją zatem liczby dodatnie \(\displaystyle{ \delta_{1},\delta_{2},n}\), że \(\displaystyle{ f(\delta_{1})=\frac{\pi}{2}-2n\pi,f(\delta_{2})=\pi-2n\pi}\).Możemy założyć (zwiększając, jeśli trzeba \(\displaystyle{ n}\)), że \(\displaystyle{ |\delta_{2}-\delta_{1}|<\epsilon}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \epsilon}\)
Przekształacamy r-nie do postaci
\(\displaystyle{ f'(x)(1+x^4+\cos(f(x)))=1}\)
Całkujemy stronami od \(\displaystyle{ \delta_{1}}\) do \(\displaystyle{ \delta_{2}}\)
Dostajemy
\(\displaystyle{ f(\delta_{2})-f(\delta_{1})+\int_{\delta_{1}}^{\delta_{2}}x^4f'(x)dx+\sin(f(\delta_{2}))-\sin(f(\delta_{1}))=\delta_{2}-\delta_{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-2n\pi-\pi+2n\pi+\int_{\delta_{1}}^{\delta_{2}}x^4f'(x)dx-1=\delta_{2}-\delta_{1}}\)
\(\displaystyle{ \int_{\delta_{1}}^{\delta_{2}}x^4f'(x)dx=\delta_{2}-\delta_{1}-\frac{\pi}{2}+1.}\)
Lewa jest zawsze dodatnia, bo jest całką z funkcji dodatniej. Prawa jest ujemna dla dostatecznie małego \(\displaystyle{ \epsilon}\). Sprzeczność