Oszacuj błąd

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
gambler00001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 kwie 2010, o 18:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: łódź

Oszacuj błąd

Post autor: gambler00001 » 25 sie 2010, o 21:02

Witam.
Chciałabym aby ktoś krok po kroku wytłumaczył mi rozwiązanie zadania takiego typu:

Oszacuj błąd bezwzględny przybliżonego wzoru \(\displaystyle{ \sqrt [3]{1+x}\approx 1+\frac{x}{3}}\) dla \(\displaystyle{ 0<x<\frac{1}{10}}\).

Z góry dziękuję.
Ostatnio zmieniony 25 sie 2010, o 22:02 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Oszacuj błąd

Post autor: szw1710 » 25 sie 2010, o 21:11

Zapisz wzór Maclaurina dla \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[3]{1+x}}\) z resztą w postaci drugiej pochodnej i oszacuj tę pochodną (a dokładniej - resztę) w podanym przedziale. Reszta to różnica pomiędzy wartością dokładną, a przybliżoną, czyli właśnie błąd przybliżenia.

gambler00001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 kwie 2010, o 18:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: łódź

Oszacuj błąd

Post autor: gambler00001 » 25 sie 2010, o 21:52

A czym mogła bym prosić o rozwiązanie...żeby mieć jakiś wzór.

miodzio1988

Oszacuj błąd

Post autor: miodzio1988 » 25 sie 2010, o 21:56


Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Oszacuj błąd

Post autor: szw1710 » 25 sie 2010, o 22:20

Wzór jest, ale trudno stamtąd czegoś się nauczyć.

Dobra, oto rozwiązanie.

Wzór Maclaurina z resztą zależną od drugiej pochodnej:

\(\displaystyle{ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(c)}{2}x^2}\),

gdzie przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\), punkt \(\displaystyle{ c}\) jest pośredni pomiędzy \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ x}\).

W naszym przypadku, dla \(\displaystyle{ f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}}\) mamy

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}},\quad f'(0)=\frac{1}{3}}\),

\(\displaystyle{ f''(x)=-\frac{2}{9}(1+x)^{-\frac{5}{3}}}\), czyli

\(\displaystyle{ f''(c)=-\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}}\)



Zatem podstawiając to do wzoru Maclaurina mamy, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in(0,0.1)}\) istnieje \(\displaystyle{ c\in(0,x)}\) takie, że

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2}\)

Zapisujemy to teraz tak:

\(\displaystyle{ \left|\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{1}{3}x \right|= \left|\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2 \right|=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2}\)

Po prostu przenieśliśmy wszystko na lewo pozostawiając resztę po prawej i obłożyliśmy modułem. Teraz należy oszacować to po prawej dla \(\displaystyle{ c\in(0,x)}\). Ale tutaj mianownik jest większy od 1, więc ułamek jest mniejszy od 1, więc

\(\displaystyle{ \frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2<\frac{2}{9}x^2}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{ \left|\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{1}{3}x \right|<\frac{2}{9}x^2<\frac{2}{9}\cdot 0.01=\frac{2}{900}}\)

(bo mieliśmy \(\displaystyle{ 0<x<0.1}\)) i tenże ułamek stanowi oszacowanie rzeczonego błędu.

Uff... narobiłem się z tym postem. Mam nadzieję, że nie machnąłem się w rachunkach. Raz poprawiałem od połowy

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Oszacuj błąd

Post autor: Crizz » 25 sie 2010, o 23:00

Rozwiązanie jest OK, ale...

W tym konkretnym przypadku chciałbym jednak zauważyć, że to oszacowanie jest mocno zgrubne, bo akurat funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\left|\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{x}{3}\right|}\) jest monotoniczna w podanym przedziale (innymi słowy wiemy, jakie \(\displaystyle{ c}\) podstawić dla \(\displaystyle{ x=0,1}\), co daje dużo lepsze oszacowanie). Błąd będzie tu równy \(\displaystyle{ g(0,1)}\).

Zauważenie wspomnianej monotoniczności upraszcza znacznie to zadanie (poprawcie mnie, jeśli się mylę )

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Oszacuj błąd

Post autor: szw1710 » 25 sie 2010, o 23:15

Masz rację

ODPOWIEDZ