iloczyn dwóch wielomianów

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
karka92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 161
Rejestracja: 18 maja 2010, o 10:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: brudzowice
Podziękował: 44 razy

iloczyn dwóch wielomianów

Post autor: karka92 » 25 sie 2010, o 18:27

Zapisz wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +2x ^{3} +5x ^{2} +4x+3}\) jako iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach całkowitych dodatnich.

Fingon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 222
Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 32 razy

iloczyn dwóch wielomianów

Post autor: Fingon » 25 sie 2010, o 18:35

Może spróbuj wymnożyć \(\displaystyle{ (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f \in \mathbb{N}_+}\) i skorzystaj z tego, że wielomiany są równe jeśli wszystkie ich współczynniki są równe.
Inne podejście to znalezienie pierwiastków wielomianu i przedstawienie go w postaci iloczynowej, a następnie wymnożenie odpowiednich nawiasów.

EDIT: Pierwiastki są zespolone, więc pierwszy sposób wydaje się prostszy. Rozwiązanie to \(\displaystyle{ (x^2+x+1)(x^2+x+3)}\).
Ostatnio zmieniony 25 sie 2010, o 18:38 przez Fingon, łącznie zmieniany 1 raz.

karka92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 161
Rejestracja: 18 maja 2010, o 10:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: brudzowice
Podziękował: 44 razy

iloczyn dwóch wielomianów

Post autor: karka92 » 25 sie 2010, o 18:38

aha skorzystam z pierwszego dziekuje

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

iloczyn dwóch wielomianów

Post autor: bakala12 » 25 sie 2010, o 18:44

Można też zastosować trick:
\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+4x+3=x^{4}+x^{3}+x^{2}+4x^{2}+4x+4+x^{3}-1=x^{2}(x^{2}+x+1)+4(x^{2}+x+1)+(x-1)(x^{2}+x+1)=(x^{2}+x+1)(x^{2}+x+3)}\)

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

iloczyn dwóch wielomianów

Post autor: Vax » 25 sie 2010, o 19:28

Można również pójść metodą Ferrariego W naszym przypadku szybko pójdzie:

\(\displaystyle{ x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x + 3 = 0}\)

\(\displaystyle{ x^4 + 2x^3 = -5x^2 - 4x - 3}\)

\(\displaystyle{ x^4 + 2x^3 + x^2 = -4x^2 - 4x - 3}\)

\(\displaystyle{ (x^2+x)^2 = -4x^2 - 4x - 3}\)

\(\displaystyle{ (x^2+x+\frac{y}{2})^2 = -4x^2 -4x - 3 + x^2y + xy + \frac{y^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ (x^2+x+\frac{y}{2})^2 = (y - 4)x^2 + (y - 4)x - 3 + \frac{y^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ (y - 4)^2 = (y^2 - 12)(y - 4)}\)

\(\displaystyle{ y^2 - 8y + 16 = y^3 - 4y^2 - 12y + 48}\)

\(\displaystyle{ y^3 - 5y^2 - 4y + 32 = 0}\)

Widzimy, że jednym z pierwiastków jest 4 \(\displaystyle{ y=4}\), wstawiamy do wcześniejszego równania:

\(\displaystyle{ (x^2 + x + \frac{y}{2})^2 = (y - 4)x^2 + (y - 4)x - 3 + \frac{y^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ (x^2 + x + 2)^2 = 1}\)

\(\displaystyle{ (x^2 + x + 2)^2 - 1^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ (x^2 + x + 3)(x^2 + x + 1)}\)

I mamy postać iloczynową

Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

iloczyn dwóch wielomianów

Post autor: miki999 » 25 sie 2010, o 19:33

W naszym przypadku szybko pójdzie:
Szpaner ;]
Metodą Fingona jeszcze szybciej:
- przy \(\displaystyle{ x^4}\) stoi \(\displaystyle{ 1}\), więc za darmo mamy \(\displaystyle{ a=d=1}\)
- wyraz wolny \(\displaystyle{ =3}\), więc bez zmniejszania ogólności, możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ c=1,\ f=3}\)
- pozostają na 2 zmienne, które też bardzo łatwo wyznaczyć

i puf, mamy wynik bez żadnego odwoływania się do motoryzacji



Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

iloczyn dwóch wielomianów

Post autor: Vax » 25 sie 2010, o 19:45

ee tam Może jestem dziwny, ale jak mam dużo wolnego czasu to lubię rozwiązywać równania takimi dłuższymi metodami Jak się zrobi trochę przykładów tymi dłuższymi sposobami, to potem coraz rzadziej popełnia się jakieś głupie błędy

Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

iloczyn dwóch wielomianów

Post autor: mariuszm » 18 mar 2011, o 14:13

miki999, bez straty ogólności piszesz
no to weźmy równanie

\(\displaystyle{ x^4-3x^2+10x-20=0\\
\left(x^2-ax+b\right)\left(x^2+ax+c\right)=0\\
\left(x^2-ax+1\right)\left(x^2+ax-20\right)=0\\
x^{4}-\left(a^2+19\right)x^2+21ax-20}\)


Dostajemy dwa sprzeczne równania

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+19=3 \\ 21a=10 \end{cases}}\)

Jak chcesz równanie czwartego stopnia w postaci ogólnej rozwiązać
w ten sposób to musisz je sprowadzić najpierw do postaci

\(\displaystyle{ x^{4}+px^{2}+qx+r=0}\)

W przypadku ogólnym i tak nie obejdzie się bez równania trzeciego stopnia

Chyba że się mylę to wyprowadź mnie z błędu panie Bundy

Poza tym ta metoda którą przedstawił Fingon jest zbliżona do tej co przedstawił Vax
i w przypadku ogólnym nie jest ona prostsza a nawet nieco bardziej skomplikowana
bo trzeba sprowadzać do postaci

\(\displaystyle{ x^{4}+px^{2}+qx+r=0}\)

i wtedy

\(\displaystyle{ x^4+px^2+qx+r=\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2-ax+c\right)}\)

Po porównaniu współczynników dostajemy równanie szóstego stopnia
o niezerowych współczynnikach tylko przy parzystej potędze
Tak więc powyższy sposób nie jest prostszy od tego który zaprezentował Vax
Obydwa sposoby bazują na tym samym tj rozkładzie wielomianu na czynniki kwadratowe
(co zresztą jest treścią zadania)
tylko że do tego rozkładu dochodzimy w każdym ze sposobów nieco inaczej

ODPOWIEDZ