pole trapezu.
: 25 sie 2010, o 16:59
Promień okręgu wpisanego w trapez równoramienny ma długość 8 cm. Miara kąta pomiędzy ramieniem trapezu a jego dłuższą podstawą jest równa 75 stopni. Oblicz pole tego trapezu.
Jeżeli w trapez ten wpisać można okrąg, to suma jego ramion jest równa sumie podstaw (warunek, żeby w czworokąt można było wpisać okrąg jest taki, że sumy przeciwległych boków czworokąta sa równe).
a, b- podstawy trapezu, c- ramię.
Czyli:
\(\displaystyle{ 2c=a+b\\c=\frac{a+b}{2}}\)
Jeśli narysujesz wysokość trapezu (jest ona równa średnicy okręgu wpisanego, czyli 16cm), to otrzymasz trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątną leżącą naprzeciw danego kąta ostrego jest wysokość trapezu, a przeciwprostokątną - ramię trapezu.
\(\displaystyle{ \frac{16}{c}=sin75^0\\\frac{16}{\frac{a+b}{2}}=sin75^o\\a+b=\frac{32}{sin75^0}}\)
Pole trapezu:
\(\displaystyle{ P=\frac{a+b}{2} \cdot h\\P=\frac{\frac{32}{sin75^0}}{2}\cdot16=\frac{16^2}{sin75^0}}\)
\(\displaystyle{ sin75^0=sin(45^0+30^0)=sin45^0cos30^0+sin30^0cos45^0=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\P=\frac{256}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{1024}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{1024(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}\\P=256(\sqrt{6}-\sqrt{2})cm^2}\)