Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Ruch drgający, wahadła i oscylatory. Ruch falowy i stowarzyszone z nim zjawiska. Zjawiska akustyczne.
Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: Szymek10 » 25 sie 2010, o 13:27

Witam,
proszę o pomoc z następującym problemem.

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego z tłumieniem ma postać
\(\displaystyle{ \frac{ d^{2}x }{dt ^{2} } + 2 \alpha \frac{dx}{dt} + \omega_{0}^{2}x=0}\)

gdzie x-położenie, \(\displaystyle{ \alpha}\) - stała tłumienia, \(\displaystyle{ \omega _{0}}\)- częstość drgań własnych.
Wykazać że rozwiązanie tego równania ma postać \(\displaystyle{ x(t)=Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)}\)
( A jest amplitudą zależną od warunku początkowego) i znaleźć stałe \(\displaystyle{ \beta , \omega _{r}}\).

Z góry wielkie dzięki za pomoc!

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: luka52 » 25 sie 2010, o 20:54

Szymek10 pisze:Wykazać że rozwiązanie tego równania ma postać \(\displaystyle{ x(t)=Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)}\)
No nie do końca tak jest, tzn. musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ \alpha^2 < \omega_0^2}\) - wtedy rzeczywiście będzie to ruch tłumiony.
Co do samej postaci rozwiązania, to również nie do końca jest to prawda Można podejrzewać, że skoro sinus jest dobrym rozwiązaniem, to i kosinus również. I rzeczywiście tak jest - dlatego należałoby dopisać fazę początkową w argumencie sinusa, ale mniejsza o to.
Jeżeli teoria równań różniczkowych jest Ci obca, wystarczy jak wstawisz przepis na \(\displaystyle{ x(t)}\) do równania, a jeżeli nie, to po prostu je rozwiąż. Szukane stałe można łatwo wyznaczyć właśnie wstawiając \(\displaystyle{ x(t)}\) do równania.

Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: Szymek10 » 27 sie 2010, o 19:53

Mógłbyś rozwinąć bo nadal nie za bardzo to widzę...

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: luka52 » 27 sie 2010, o 20:06

Tzn. co nie jest zrozumiałe?

Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: Szymek10 » 28 sie 2010, o 13:44

Tzn do równania ruchu wstawiamy przepis na x(t) , tak ? Czy ogólny wzór równania ruchu trzeba przekształcić ?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: luka52 » 28 sie 2010, o 14:01

To \(\displaystyle{ x(t)=Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)}\) wstaw do \(\displaystyle{ \frac{ d^{2}x }{dt ^{2} } + 2 \alpha \frac{dx}{dt} + \omega_{0}^{2}x=0}\).

Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: Szymek10 » 28 sie 2010, o 14:14

czyli

\(\displaystyle{ \frac{ (Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t))'' }{dt ^{2} } + 2 \alpha \frac{(Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t))'}{dt} + \omega_{0}^{2}Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)=0}\) , tak ?

wybacz że wszystko tak łopatologicznie ale r-nia różniczkowe w fizyce to nie jest moja mocna strona

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: miki999 » 28 sie 2010, o 14:17

Zapis do bani.

Jak robisz"
\(\displaystyle{ (...)''}\)
to nie piszesz w mianowniku \(\displaystyle{ dt^2}\).

Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: Szymek10 » 28 sie 2010, o 14:24

Myślałem że to zmieniłem , mój błąd.

\(\displaystyle{ { (Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t))'' } + 2 \alpha (Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t))' + \omega_{0}^{2}Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)=0}\)

Jak wygląda różniczkowanie takiej funkcji ? Pierwszy raz spotykam się z funkcją exp

"Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej e (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Inne oznaczenie takiej funkcji to: exp(x)"

zamieniamy na log ?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: luka52 » 28 sie 2010, o 16:58

Różniczkowanie funkcji złożonej + podstawowe wzory na pochodne.
forum45.htm lub 206123.htm lub jeszcze wikipedia.

Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

Post autor: Szymek10 » 28 sie 2010, o 18:57

Zgadza się.

Zacznijmy od pochodnej \(\displaystyle{ Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)}\) korzystając ze wzoru na iloczyn pochodnych \(\displaystyle{ (f\cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'}\) czyli i tak zaczynamy od policzenia \(\displaystyle{ (sin(\omega _{r}t))' = \omega_{r}cos(\omega_{r}t)}\) oraz \(\displaystyle{ (Aexp(- \beta t))'=...}\) no i właśnie co z tym exp ?-- 30 sierpnia 2010, 16:15 --a więc po zróżniczkowaniu i uproszczeniu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (\beta ^{2} - \omega_{r}^{2} + \omega_{0}^{2} + 2 \alpha \beta )(Aexp(- \beta t)sin(\omega_{r}t + \varpi) + (2 \alpha \omega_{r} - 2 \beta \omega_{r} ) (Aexp(- \beta t)cos(\omega_{r}t + \varpi)}\)

teraz, aby wykazać iż równa się to rozwiązaniu \(\displaystyle{ x(t)=Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)}\)
musimy wprowadzić dwa warunki \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\) oraz \(\displaystyle{ \omega_{r} = sqrt(\omega_{0}^{2} - \alpha ^{2})}\). Prosiłbym o wytłumaczenie skąd się biorą właśnie te dwa warunki ?

ODPOWIEDZ