pole obszaru ogrniczonego kardioidą

[karolina109]

obliczyc pole obszaru ograniczonego kardioidą \(\displaystyle{ [0,2 \pi ] \in \rightarrow \left[ x(t)=2acost-acos2t;y(t)=2asint-asin2t\right]}\)

D=\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi }[(2acost-acos2t)(2acost-2acos2t)-(2asint-asint)(-2asint+2asin2t)]dt= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi }[6a ^{2} -6 a^{2}cost]dt=6 \pi a ^{2}}\)
czy dobrze???

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int_{0}^{ 2a \left(1-\sin{\varphi} \right) }{r \mbox{d}r}}\)

Powinno być jednak dobrze (na pierwszy rzut oka wziąłem inną kardioidę)

Jeżeli chcesz parametrycznie to całka powinna wygląć tak

Tutaj rzeczywiście lepiej całkować po y

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}{x \left( t\right) \cdot y' \left(t \right) \mbox{d}t }}\)

Powinno być dobrze ale ja bym tak nie kombinował

Obliczyłbym całkę

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}{x \left( t\right) \cdot y' \left(t \right) \mbox{d}t }}\)

a w razie potrzeby podzieliłbym przedział

Poza tym obszar ten jest symetryczny względem Y więc wystarczy policzyć

\(\displaystyle{ 2\int_{0}^{\pi}{x \left( t\right) \cdot y' \left(t \right) \mbox{d}t }}\)

[karolina109]

D=\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi }[(2acost-acos2t)(2acost-2acos2t)-(2asint-asint)(-2asint+2asin2t)]dt= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi }[6a ^{2} -6 a^{2}cost]dt=6 \pi a ^{2}}\)
tylko nie rrozumiem tego skad sie bierze \(\displaystyle{ (2acost-2acos2t)}\) dlaczego po minusie jest \(\displaystyle{ 2acos2t}\) a nie po prostu \(\displaystyle{ acos2t}\)skad się bierze te 2???

[miodzio1988]

Pochodna funkcji wewnętrznej

[karolina109]

o co chodzi z tą funkcją wewnętrzną???

[miodzio1988]

Wzór na pochodną funkcji złożonej