pole obszaru ogrniczonego kardioidą

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
karolina109
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 468
Rejestracja: 30 gru 2009, o 08:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 4 razy

pole obszaru ogrniczonego kardioidą

Post autor: karolina109 » 25 sie 2010, o 09:21

obliczyc pole obszaru ograniczonego kardioidą \(\displaystyle{ [0,2 \pi ] \in \rightarrow \left[ x(t)=2acost-acos2t;y(t)=2asint-asin2t\right]}\)

D=\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi }[(2acost-acos2t)(2acost-2acos2t)-(2asint-asint)(-2asint+2asin2t)]dt= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi }[6a ^{2} -6 a^{2}cost]dt=6 \pi a ^{2}}\)
czy dobrze???

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

pole obszaru ogrniczonego kardioidą

Post autor: mariuszm » 26 sie 2010, o 18:20

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int_{0}^{ 2a \left(1-\sin{\varphi} \right) }{r \mbox{d}r}}\)

Powinno być jednak dobrze (na pierwszy rzut oka wziąłem inną kardioidę)

Jeżeli chcesz parametrycznie to całka powinna wygląć tak

Tutaj rzeczywiście lepiej całkować po y

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}{x \left( t\right) \cdot y' \left(t \right) \mbox{d}t }}\)

Powinno być dobrze ale ja bym tak nie kombinował

Obliczyłbym całkę

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}{x \left( t\right) \cdot y' \left(t \right) \mbox{d}t }}\)

a w razie potrzeby podzieliłbym przedział

Poza tym obszar ten jest symetryczny względem Y więc wystarczy policzyć

\(\displaystyle{ 2\int_{0}^{\pi}{x \left( t\right) \cdot y' \left(t \right) \mbox{d}t }}\)
Ostatnio zmieniony 26 sie 2010, o 21:09 przez mariuszm, łącznie zmieniany 2 razy.

karolina109
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 468
Rejestracja: 30 gru 2009, o 08:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 4 razy

pole obszaru ogrniczonego kardioidą

Post autor: karolina109 » 26 sie 2010, o 18:44

D=\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi }[(2acost-acos2t)(2acost-2acos2t)-(2asint-asint)(-2asint+2asin2t)]dt= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi }[6a ^{2} -6 a^{2}cost]dt=6 \pi a ^{2}}\)
tylko nie rrozumiem tego skad sie bierze \(\displaystyle{ (2acost-2acos2t)}\) dlaczego po minusie jest \(\displaystyle{ 2acos2t}\) a nie po prostu \(\displaystyle{ acos2t}\)skad się bierze te 2???

miodzio1988

pole obszaru ogrniczonego kardioidą

Post autor: miodzio1988 » 26 sie 2010, o 20:21

Pochodna funkcji wewnętrznej

karolina109
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 468
Rejestracja: 30 gru 2009, o 08:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 4 razy

pole obszaru ogrniczonego kardioidą

Post autor: karolina109 » 1 wrz 2010, o 08:11

o co chodzi z tą funkcją wewnętrzną???

miodzio1988

pole obszaru ogrniczonego kardioidą

Post autor: miodzio1988 » 1 wrz 2010, o 10:16

Wzór na pochodną funkcji złożonej

ODPOWIEDZ