Równanie różniczkowe jednorodne (metoda podstawiania).

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
radziosny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 1 paź 2008, o 14:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 5 razy

Równanie różniczkowe jednorodne (metoda podstawiania).

Post autor: radziosny » 25 sie 2010, o 00:31

Bardzo proszę o pomoc. Wyliczyłem zadanie, ale wynik nie zgadza się z odpowiedzią w książce (choć jest bardzo podobny!). Wydaje mi się, że może być to błąd rachunkowy, ale nie mogę się go doszukać . Zadanie to nie daje mi spokoju.

\(\displaystyle{ (x+y) \frac{dy}{dx}-2y=0}\)

dzielę obustronnie przez x i mam:

\(\displaystyle{ \left(\frac{x+y}{x} \right) \frac{dy}{dx}= \frac{2y}{x}}\)

\(\displaystyle{ \left(1+ \frac{y}{x} \right) \frac{dy}{dx}= \frac{2y}{x}}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ u= \frac{y}{x}}\), czyli \(\displaystyle{ y=ux}\), zatem \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=u+x \frac{du}{dx}}\) i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (1+u) \left(u+x \frac{du}{dx} \right) =2u //:(1+u)}\)

\(\displaystyle{ u+x \frac{du}{dx} = \frac{2u}{1+u}}\)

Przenoszę \(\displaystyle{ u}\) na drugą stronę i szukam wspólnego mianownika:

\(\displaystyle{ x \frac{du}{dx}= \frac{2u-u(1+u)}{1+u}}\)

\(\displaystyle{ x \frac{du}{dx}= \frac{- u^{2}+u }{1+u} //: \left(\frac{-u ^{2}+u }{1+u} \right) x}\) rozdzielam zmienne

\(\displaystyle{ \frac{1+u}{-u ^{2}+u } \frac{du}{dx} = \frac{1}{x}}\)

Całkuję obustronnie (wyrażenie po lewej rozbijam na dwie całki):

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{-u ^{2}+u }du+ \int_{}^{} \frac{1}{-u+1} du=\int_{}^{} \frac{1}{x}dx}\)

Całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{-u ^{2} +u}}\) rozbijam na dwie całki:

\(\displaystyle{ \frac{1}{-u(u-1)}= \frac{A}{-u}+ \frac{B}{u-1}= \frac{A(u-1)+b(-u)}{-u(u-1)}}\)

Mamy takie równanie:\(\displaystyle{ 0 \cdot u+1=Au-A-Bu}\)

\(\displaystyle{ 1=-A \Rightarrow A=-1}\)

\(\displaystyle{ 0=A-B \Rightarrow 0=-1-B \Rightarrow B=-1}\)

Tak więc ostatecznie:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{-1}{-u} du- \int_{}^{} \frac{1}{u-1} du- \int_{}^{} \frac{1}{u-1} du= \int_{}^{} \frac{1}{x} dx}\)

Obliczamy i mamy:
\(\displaystyle{ ln \left|u \right| -ln \left|u-1 \right|-ln \left|u-1 \right|=ln \left|x\right| +ln \left|C \right|}\)

\(\displaystyle{ ln \left| \frac{u}{ \left( u-1\right) ^{2} } \right| =ln \left| Cx\right|}\)

\(\displaystyle{ \frac{u}{ \left(u-1 \right) ^{2} } =Cx}\)

Podstawiamy zamiast\(\displaystyle{ u}\)wartość \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{y}{x} }{ \left( \frac{y}{x}-1 \right) ^{2} }=Cx}\)

Wartości w mianowniku sprowadzam do wspólnego mianownika i mam:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{y}{x} }{ \frac{y ^{2}-2xy+x ^{2} }{x ^{2} } }=Cx}\)

Po wymnożeniu lewej strony:

\(\displaystyle{ \frac{yx}{y ^{2} -2xy+x ^{2} }=Cx // :x}\)

I ostateczny wynik:

\(\displaystyle{ y=C \left(y-x \right) ^{2}}\)


Wynik w książce to: \(\displaystyle{ \left(x-y \right) ^{2}=Cy}\)

Jeszcze raz bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem .

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Równanie różniczkowe jednorodne (metoda podstawiania).

Post autor: pyzol » 25 sie 2010, o 00:44

A co to jest C?
Masz dobrze. W ksiazce tez jest dobrze.

radziosny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 1 paź 2008, o 14:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 5 razy

Równanie różniczkowe jednorodne (metoda podstawiania).

Post autor: radziosny » 25 sie 2010, o 00:52

pyzol pisze:A co to jest C?
Masz dobrze. W ksiazce tez jest dobrze.
C to jest dowolna stała Rozumiem, że można nią dowolnie manipulować?
Czyli było by tak:

\(\displaystyle{ \left(y-x \right) ^{2} =Cy}\)

Tylko pozostaje ten problem, że w nawiasie zamiast \(\displaystyle{ x-y}\) jest \(\displaystyle{ y-x}\) -- 24 sierpnia 2010, 23:58 --yyy oj chyba zrozumiałem swój błąd, tak sobie przeliczyłem \(\displaystyle{ \left( x-y\right) ^{2}}\) i \(\displaystyle{ \left( y-x\right) ^{2}}\) i wyszło to samo

To chyba ta godzina . Dzięki za zwrócenie uwagi. Cały dzień się nad tym głowiłem

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ