Całka podwója,współrzędne biegunowe

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
LoGaN9916
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 26 lis 2006, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zona
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

Całka podwója,współrzędne biegunowe

Post autor: LoGaN9916 » 24 sie 2010, o 16:55

Witam!
Mam obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2x, x^2 + y^2 = 4x, y = x, y = 0}\) Narysowałem więc rysunek ( 2 okręgi jeden o promieniu 1 a 2 o promieniu 2 , pierwszy przesunięty o 1 w prawo a 2 o 2 w prawo) I teraz nie jestem w stanie zobaczyć o które pole chodzi bo mam 2 okręgi jeden w drugiem i prostą \(\displaystyle{ y=x}\) Domyślam się ze trzeba tutaj użyć współrzędnych biegunowych ale dopóki nie wiem o jaki obszar chodzi niewiele mogę zrobić

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Całka podwója,współrzędne biegunowe

Post autor: Crizz » 24 sie 2010, o 18:07



Myślę, że nie będzie potrzeby używania współrzędnych biegunowych. Pierwszy okrąg ma równanie \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+y^{2}=1}\), jego górną część (górny półokrąg) można opisać równaniem \(\displaystyle{ y=\sqrt{1-(x-1)^{2}}}\). Drugi okrąg ma równanie \(\displaystyle{ (x-2)^{2}+y^{2}=4}\), jego górną część możemy opisać równaniem \(\displaystyle{ y= \sqrt{4-(x-2)^{2}}}\).

Najpierw znajdujesz punkty wspólne okręgów z prostą \(\displaystyle{ y=x}\), czyli \(\displaystyle{ (0,0),(1,1),(2,2)}\). Pierwszy punkt nie jest interesujący. Z rysunku wynika jednak, że musimy podzielić dany obszar na dwie części wzdłuż prostej \(\displaystyle{ x=2}\).

Pole lewej części wyznaczymy jako \(\displaystyle{ \int^{2}_{1} (x-\sqrt{1-(x-1)^{2}})dx}\), natomiast pole prawej części jako \(\displaystyle{ \int^{4}_{2} \sqrt{4-(x-2)^{2}} dx}\).

ODPOWIEDZ