dwuwymiarowy rozkład normalny

[milena_sam]

Mam problem z zadaniem:

"Tarczę strzelniczą umieszczamy na płaszczyźnie ze środkiem w punkcie o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,0)}\). Punkt trafienia strzelca w tarczę ma dwuwymiarowy rozkład normalny o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ (0,0)}\), o takiej samej wariancji obu współrzędnych i o zerowej ich kowariancji. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia przez strzelca w punkt odległy od środek tarczy o mniej niż jedno odchylenie standardowe?"

Odp.: \(\displaystyle{ 1 - exp(-0,5)}\)

[pyzol]

Coz jesli mialas calki podwojne nie powinno to stanowic problem. Bierzemy gestosc, przechodzimy na wspolrzedne biegunowe i calkujemy.
\(\displaystyle{ \int\int_D \frac{1}{2\pi\sigma}\exp\left(\frac{-(x^2+y^2)}{2\sigma^2}\right)dxdy=\\
\frac{1}{2\pi\sigma}\int_0^{2\pi}\int_0^\sigma r \exp\left(\frac{-r^2}{2\sigma^2}\right)}drd\phi}\)
O ile dobrze wpisalem gestosc, to powinno wyjsc.

[milena_sam]

Dalej nie rozumiem dlaczego to jest tak zrobione ... ;(

[pyzol]

To ja to zrobie krok po kroku.
Macierz kowariancji ma postac:
\(\displaystyle{ \Sigma = \left[
\begin{array}{cc}
\sigma^2&0\\
0&\sigma^2
\end{array}\right] \\
|\Sigma|:=det(\Sigma)}\)
Funkcja gestosci wyraza sie wzorem:
\(\displaystyle{ f(\mathb{x})=\frac{1}{(2\pi)^{p/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp \left[-\frac{1}{2}(\mathb{x-\mu})^T\Sigma^{-1} (\mathb{x-\mu}) \right]}\)
W naszym przypadku:
\(\displaystyle{ \Sigma^{-1}=\left[
\begin{array}{cc}
1/\sigma^2&0\\
0&1/\sigma^2
\end{array}\right]\\
f(\mathb{x})=\frac{1}{(2\pi)\sigma^2}\exp \left[-\frac{1}{2}(\mathb{x}^T\Sima^{-1} (\mathb{x}) \right]=\\
=\frac{1}{(2\pi)\sigma^2}\exp \left[-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}\right]\\}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ P(\mathb{X}\inA)=\int_A f(\mathb{x})dx}\)
Mamy policzyc calke:
\(\displaystyle{ \int\int_A f(x,y)dxdy}\)
gdzie A zbior taki, ze (narysuj sobie tarcze i promien):
\(\displaystyle{ x^2+y^2 \le \sigma^2}\)
Wprowadzamy zmienne biegunowe:
\(\displaystyle{ \int\int_A f(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sigma}\frac{1}{(2\pi)\sigma^2}\exp \left[-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}\right] r drd\varphi =\\
=\frac{1}{(2\pi)\sigma^2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sigma}\exp \left[-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}\right] r drd\varphi}\)
Zajmiemy sie najpierw calka:
\(\displaystyle{ \int \exp \left[-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}\right]=}\)
Podstawiajac:
\(\displaystyle{ t=-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}\\
dt=-\frac{rdr}{\sigma^2}\\
rdr=-\sigma^2 dt}\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ =-\sigma^2\int e^t dt=-\sigma^2 e^t=-\sigma^2\exp \left[-\frac{r^2}{2\sigma^2} \right] \\
\int\int_A f(x,y)dxdy=\frac{-\sigma^2}{(2\pi)\sigma^2}\int_0^{2\pi} \left(\exp\left[-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}\right] \right)_0^{\sigma}d\varphi=\\
\frac{-1}{(2\pi)}\int_0^{2\pi} \left(\exp\left[-\frac{1}{2}\right]-1 \right)d\varphi=\\
=-\frac{1}{2\pi} \left(2\pi e^{-0.5}-2\pi \right)}\)
Teraz mozesz pytac skad co wzialem.