różniczkowanie po parametrze

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
marcin_j
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 gru 2009, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

różniczkowanie po parametrze

Post autor: marcin_j » 24 sie 2010, o 07:41

Cześć!

Zadanie jest chyba proste, ale mimo to nie specjalnie umiem je zrobić. Należy znaleźć \(\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial \mu}}\) w punkcie \(\displaystyle{ \mu = 0}\). Dane równanie to:
\(\displaystyle{ x' = x + \mu (1+x^2), x(0) = 1}\).

Z góry dziękuję za odpowiedź!

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

różniczkowanie po parametrze

Post autor: Kamil_B » 24 sie 2010, o 08:49

Hmm jesli dobrze widzę, to wystarczy podstawić \(\displaystyle{ \mu=0}\)

miodzio1988

różniczkowanie po parametrze

Post autor: miodzio1988 » 24 sie 2010, o 10:29

Można też skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial t } \frac{ \partial x }{ \partial \mu} = D _{ f _{x} } ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} ) \frac{ \partial x }{ \partial \mu} + \frac{ \partial f }{ \partial \mu} ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} )}\)

Najczęściej się wykorzystuje właśnie ten wzór do liczenia tego typu zadań. Jeśli jest niezrozumiały ten wzór to mogę go wytłumaczyć na przykładzie ( dla mnie na początku troszkę był)

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

różniczkowanie po parametrze

Post autor: Kamil_B » 24 sie 2010, o 10:46

Teraz jak tak patrzę, to ta funkcja \(\displaystyle{ x}\) jest jakiej zmiennej ? \(\displaystyle{ t}\) czy \(\displaystyle{ \mu}\) ?

miodzio1988

różniczkowanie po parametrze

Post autor: miodzio1988 » 24 sie 2010, o 10:49

\(\displaystyle{ t}\) oczywiście \(\displaystyle{ \mu}\) to parametr

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

różniczkowanie po parametrze

Post autor: Kamil_B » 24 sie 2010, o 10:53

Szkoda, moja wskazówka byłaby ok, a tak to trochę zamuliłem

miodzio1988

różniczkowanie po parametrze

Post autor: miodzio1988 » 24 sie 2010, o 10:57

E tam Zdarza się nawet najlepszym.

I to równanie które podałem to równanie na wariację . Jeśli trzeba coś z tym równaniem wytłumaczyć to chętnie to zrobię. Brak \(\displaystyle{ t}\) po prawej stronie bardzo bardzo ułatwi obliczenia

marcin_j
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 gru 2009, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

różniczkowanie po parametrze

Post autor: marcin_j » 24 sie 2010, o 13:31

dzięki wam wszystkim za odpowiedzi.

Faktycznie pierwsza wskazówka troszkę mnie zmyliła, no bo x cały czas zostanie.

Wzór który napisałeś, miodzio1988, jest dla mnie wprawdzie nie do końca zrozumiały, ale znam inny dość podobny, więc podejrzewam, że może to być ten sam (nie wiem co znaczy u ciebie to \(\displaystyle{ D _{f} _{x}}\). )


Generalnie wiem jak robić tego typu zadania, np. jeśli różniczkowanie jest po warunku początkowym. (Liczę pochodną po tym warunku w danym punkcie i następnie dostaję równanie różniczkowe ze zmienną u gdzie \(\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial x_{0}} = u}\). Ale w tym wypadku jeśli też stosuję tę procedurę to zostaje mi sam \(\displaystyle{ x}\) i równanie jakie otrzymuję ma zmienne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ u}\). Nie wiem czy to jasno opisałem.


Zatem, miodzio1988, chętnie posłucham wyjaśnień odnośnie tego wzoru a jednocześnie gdybyś mógł się jakoś odnieść do opisanego przeze mnie sposbu rozwiązania byłbym bardzo wdzięczny:)

miodzio1988

różniczkowanie po parametrze

Post autor: miodzio1988 » 24 sie 2010, o 13:54

No to na innym przykładzie pokażę jak to działa ( mam nadzieję, że to pamiętam jeszcze ).

\(\displaystyle{ x'= x+ \mu \cdot (t+x ^{2} )}\)

Wyznaczamy to samo przy takim samym warunku początkowym.

\(\displaystyle{ ( x (t, \mu _{0})= e ^{t}}\)

bo wstawiamy za \(\displaystyle{ \mu}\) liczbę zero i rozwiązujemy równanie :

\(\displaystyle{ x'=x}\)

Z tego:

\(\displaystyle{ x=e ^{t}}\)
(stałą pomijamy)

Małe \(\displaystyle{ f}\) to prawa strona równania.

\(\displaystyle{ D _{ f _{x} } ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} )=D _{ f _{x} } ( e ^{t} , t, 0 ) =1}\)

Liczymy pochodną po \(\displaystyle{ x}\) i wstawiamy nasze dane.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f }{ \partial \mu} ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} ) = t+ e ^{2t}}\)

Najpierw liczymy pochodną później wstawiamy nasze dane.

No i teraz wszystko wstawiamy do naszego równania i wychodzi piękne równanie różniczkowe.

Żeby się nie mieszało można zapisać:

\(\displaystyle{ z= \frac{ \partial x }{ \partial \mu}}\)

Wychodzi równanie:

\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial t} =z+ e ^{2t} +t}\)

marcin_j
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 gru 2009, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

różniczkowanie po parametrze

Post autor: marcin_j » 24 sie 2010, o 21:17

dzięki, już teraz wszystko jasne:)

ODPOWIEDZ