Matematyka.pl

"Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 5n również ma tę własność."
Rozwiązanie: Jeżeli \(\displaystyle{ n = a^{2} + b^{2}}\) to
\(\displaystyle{ 5n = 5a^{2} + 5b^{2} = (a-2b)^{2} + (2a + b)^{2}}\), chciałem się zapytać jak to zostało przekształcone, że z \(\displaystyle{ 5a^{2} + 5b^{2}}\), otrzymano \(\displaystyle{ (a-2b)^{2} + (2a + b)^{2}}\)?

\(\displaystyle{ (a-2b)^2 + (2a + b)^2 = a^2 + 4b^2 - 4ab + 4a^2 + b^2 + 4ab = 5a^2 + 5b^2}\)

Pozdrawiam.

no dobra, ale zaczynam od \(\displaystyle{ 5n=5a^{2}+5b{b}}\) i nie znam wyniku i jak mam dojść do tego żeby tak rozpisać?

Trzeba pokombinować, dążysz do tego, aby przedstawić to jako sumę kwadratów liczb całkowitych.

A nie można tego tak zrobić?

\(\displaystyle{ n = a^2+b^2}\) to
\(\displaystyle{ 5n = 5a^2+5b^2 /:5}\), a więc
\(\displaystyle{ n = a^2+b^2}\)

Czyli \(\displaystyle{ n = a^2+b^2}\) jest równe temu \(\displaystyle{ n = a^2+b^2}\).

Po prostu? Ja na przykład za nic nie wiedziałbym jak dojść do \(\displaystyle{ (a-2b)^{2} + (2a + b)^{2}}\).

Tym wykazałeś, że n jest sumą 2 kwadratów a to jest założenie w zadaniu, mamy \(\displaystyle{ 5n = 5a^2+5b^2}\) czyli należy zapisać wyrażenie \(\displaystyle{ 5a^2+5b^2}\) jako sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych.

Pozdrawiam.