Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ b}\), dla których równanie \(\displaystyle{ \frac{x^2-(4b+3)x+3b^2+3b}{x-2} =0}\) ma dwa rozwiązania różnych znaków.
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0\\ x_1x_2<0\end{cases}}\)
Następnie dla jakich \(\displaystyle{ b}\) wyrażenie \(\displaystyle{ x^2-(4b+3)x+3b^2+3b}\) ma pierwiastek \(\displaystyle{ 2.}\)
Ze wszystkiego część wspólna i ostatecznie wychodzi :
\(\displaystyle{ b \in (-3;-1,5) \cup (-1,5;- \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3} ;0)}\)
Zaś w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ b \in (-1;0) \backslash {-\frac{1}{3}}}\)
Zakładam, że to ja gdzieś się walnąłem, tylko gdzie?
funkcja wymierna z parametrem
-
Quaerens
- Użytkownik
- Posty: 2489
- Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 439 razy
- Pomógł: 181 razy
funkcja wymierna z parametrem
Założenie pierwsze wykonałem tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4b^{2}+12b+9>0 \\ 3b^{2}+3b<0 \end{cases} \\ x\neq 2}\)
Po wyznaczeniu wartości b z drugiego równania wychodzi:
\(\displaystyle{ b=0 \vee b=-1}\)
( oczywiście to sobie zapisz odpowiednio w przedziale )
Dla oby "b" pierwsze równanie jest prawdziwe, zatem podstawiam do naszego równania w zadaniu i wychodzą nam, dwie funkcję kwadratowe, które mają miejsca zerowe zgodnie z warunkiem zadania. Co do części drugiej, może teraz Ci wyjdzie?
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4b^{2}+12b+9>0 \\ 3b^{2}+3b<0 \end{cases} \\ x\neq 2}\)
Po wyznaczeniu wartości b z drugiego równania wychodzi:
\(\displaystyle{ b=0 \vee b=-1}\)
( oczywiście to sobie zapisz odpowiednio w przedziale )
Dla oby "b" pierwsze równanie jest prawdziwe, zatem podstawiam do naszego równania w zadaniu i wychodzą nam, dwie funkcję kwadratowe, które mają miejsca zerowe zgodnie z warunkiem zadania. Co do części drugiej, może teraz Ci wyjdzie?
-
bakala12
- Gość Specjalny
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
funkcja wymierna z parametrem
Założenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_{1}x_{2}<0 \\ x\neq 2\end{cases}}\)
1.\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ (4b+3)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (3b^{2}+3b)>0}\)
\(\displaystyle{ 16b^{2}+24b+9-12b^{2}-12b>0}\)
\(\displaystyle{ 4b^{2}-12b+9>0}\)
\(\displaystyle{ (2b-3)^{2}>0}\)
\(\displaystyle{ b \neq1,5}\)
2.\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}<0}\)
\(\displaystyle{ 3b^{2}+3b<0}\)
Daruje sobie rozwiązanie wychodzi \(\displaystyle{ b \in (-1:0)}\)
3.\(\displaystyle{ x\neq 2}\)
\(\displaystyle{ 2^{2}-(4b+3) \cdot 2+3b^{2}+3b=2}\)
\(\displaystyle{ 4-8b-6+3b^{2}+3b=2}\)
\(\displaystyle{ 3b^{2}-5b-2=2}\)
\(\displaystyle{ b _{1}=- \frac{1}{3};b _{2}=2}\)
Reasumując:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b \neq 1,5 \\b\in(-1;0)\\b\neq-\frac{1}{3}\\b\neq2 \end{cases}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ b\in (-1;0) \backslash \{-\frac{1}{3}\}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_{1}x_{2}<0 \\ x\neq 2\end{cases}}\)
1.\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ (4b+3)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (3b^{2}+3b)>0}\)
\(\displaystyle{ 16b^{2}+24b+9-12b^{2}-12b>0}\)
\(\displaystyle{ 4b^{2}-12b+9>0}\)
\(\displaystyle{ (2b-3)^{2}>0}\)
\(\displaystyle{ b \neq1,5}\)
2.\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}<0}\)
\(\displaystyle{ 3b^{2}+3b<0}\)
Daruje sobie rozwiązanie wychodzi \(\displaystyle{ b \in (-1:0)}\)
3.\(\displaystyle{ x\neq 2}\)
\(\displaystyle{ 2^{2}-(4b+3) \cdot 2+3b^{2}+3b=2}\)
\(\displaystyle{ 4-8b-6+3b^{2}+3b=2}\)
\(\displaystyle{ 3b^{2}-5b-2=2}\)
\(\displaystyle{ b _{1}=- \frac{1}{3};b _{2}=2}\)
Reasumując:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b \neq 1,5 \\b\in(-1;0)\\b\neq-\frac{1}{3}\\b\neq2 \end{cases}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ b\in (-1;0) \backslash \{-\frac{1}{3}\}}\)