Matematyka.pl

Rozkład \(\displaystyle{ LU}\) macierzy w bardzo łatwy sposób daje nam możliwość policzenia wyznacznika macierzy.

Uwaga ogólna:

Nie dla każdej macierzy ten rozkład da się wykonać. Są inne wersje tego rozkładu, które eliminują ten problem ( np rozkład \(\displaystyle{ PQLU}\))



\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ r_{i} - r_{j}}\)

Oznacza, że odejmujemy od \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza wiersz \(\displaystyle{ j}\)-ty

\(\displaystyle{ r_{i} - k \cdot r_{j}}\)

Oznacza, że odejmujemy od \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza wiersz \(\displaystyle{ j}\)-ty pomnożony przez \(\displaystyle{ k}\)

\(\displaystyle{ r_{2} - r_{1}}\)

\(\displaystyle{ r_{3} - r_{1}}\)



\(\displaystyle{ L_{1}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ L_{1} \cdot A = \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&2\\0&2&5\end{bmatrix}= A_{1}}\)

\(\displaystyle{ r_{3} -2 r_{2}}\)

\(\displaystyle{ L_{2}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ L_{2} \cdot A _{1} = L_{2}= \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}=U}\)


\(\displaystyle{ L_{2} \cdot A _{1} =U}\)


\(\displaystyle{ L_{2} \cdot L _{1} \cdot A =U}\)


\(\displaystyle{ L= L^{-1} _{1} \cdot L^{-1} _{2}=...}\)

Czytelnik już doliczy

Wtedy :

\(\displaystyle{ DetA=Det(L \cdot U)= Det(L ) \cdot Det( U)}\)

Macierz \(\displaystyle{ L}\) to macierz trójkątna dolna

Macierz \(\displaystyle{ U}\) to macierz trójkątna górna

Wyznacznik macierzy trójkątnej dolnej górnej to iloczyn wyrazów na przekątnej
Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie
to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )