Całki Eulera

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
szumlak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 sie 2010, o 21:22
Płeć: Mężczyzna

Całki Eulera

Post autor: szumlak » 17 sie 2010, o 18:14

Witam. Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu zadań całek Eulera. Ponożej znajdują się przykładowe zadania. Potrzebuje pomocy jak dojść do podanych rozwiązań. Niestety nie potrafimy sobie z nimi poradzić. Gdyby ktoś mógł być tak dobry i zobaczyć. Dobry chociaż jeden przykład. Z góry dziękuje

850.4: \(\displaystyle{ \Gamma(n) \ = \ (n-1)!}\), when n is an integer > 0
851.2: \(\displaystyle{ log \ \Gamma(1+x) \ = \frac{1}{2} log \frac{x \pi }{sin \ x \pi }-Cx- \frac{S _{3} x ^{3} }{3}- \frac{S _{5} x ^{5} }{5}-...}\)

852.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e ^{-x} log \ x \ dx = \ -C}\), where C =0.577 2157, as in 851.1
852.2: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}log \ (lox \ x)dx \ = -C}\)
852.3: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} ( \frac{1}{log \ x} \ + \ \frac{1}{1-x})dx \ =C}\)
852.4 \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{x} ( \frac{1}{1+ x^{2} } - e ^{-x})dx \ =C}\)
852.5: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } ( \frac{1}{e ^{x} -1}- \frac{1}{xe ^{x} } )dx \ = C}\)
i852.2: If n is a positive integer, \(\displaystyle{ \Pi(n) \ = n!}\)
853.3: \(\displaystyle{ \Pi(0) \ = 1}\)

865.4: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x ^{2a-1} \ log(1+x)dx \ = \ \frac{1}{2a} \sum_{n=1}^{2a} \frac{(-1) ^{n-1} }{n}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całki Eulera

Post autor: luka52 » 17 sie 2010, o 21:14

Jeżeli użyjemy znanego związku \(\displaystyle{ \Gamma ' (1) = - \gamma}\) czy tam C, to 3 i 4 przykład idą od razu - kwestia odpowiedniego podstawienia i różniczkowania pod znakiem całki.

8 i 9 - skoro \(\displaystyle{ \Pi (z) = \Gamma (z+1)}\), to przykłady są wręcz oczywiste.

Poza tym ogólnie całki się tu powtarzają - zastosowano odpowiednie podstawienia i tylko forma jest inna. Przejrzyj np. http://mathworld.wolfram.com/Euler-Masc ... stant.html .

szumlak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 sie 2010, o 21:22
Płeć: Mężczyzna

Całki Eulera

Post autor: szumlak » 18 sie 2010, o 20:56

dzieki wielkie za pomoc podaje jeszcze kilka przykładów. gdyby ktoś mógł jeszcze pomóc byłbym bardzo wdzięczny.

866.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(log \frac{1}{x} )^{\frac{1}{2}} dx \ = \frac{\sqrt{ \pi }}{2} }}\)
866.2: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(log \frac{1}{x} )^{-\frac{1}{2}} dx \ = \sqrt{ \pi }}\)
867.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} log \ x \ log (1+x)dx \ = 2-2 \ log \ 2 \ - \frac{ \pi ^{2} }{12}}\)
867.2: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} log \ x \ log (1-x)dx \ = 2- \frac{ \pi ^{2} }{6}}\)
867.3: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x \ log (1+x)dx \ = \frac{1}{4}}\)
867.4: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x \ log (1-x)dx \ = - \frac{3}{4}}\)
867.5: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x \ log \ x \ log (1+x)dx \ = \frac{ \pi ^{2} }{24} - \frac{1}{2}}\)
867.6: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x \ log \ x \ log (1-x)dx \ = 1 - \frac{ \pi ^{2} }{12}}\)
867.7: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(1+x) \ log \ x \ log (1+x)dx \ = \frac{3}{2} - 2 \ log \ 2 - \frac{ \pi ^{2} }{24}}\)
867.8: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(1-x) \ log \ x \ log (1-x)dx \ = \ 1 - \frac{ \pi ^{2} }{12}}\)
875.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e ^{-ax} J _{0}(bx)dx \ = \frac{1}{ \sqrt{(a ^{2} +b ^{2}) } }}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całki Eulera

Post autor: luka52 » 18 sie 2010, o 21:04

O rany, a sam masz jakieś pomysły na te przykłady chociaż?
866.*- podst. \(\displaystyle{ x = e^{-t}}\) i mamy odpowiednią wartość funkcji Gamma.
867.* - rozwinąć w szereg Maclaurina \(\displaystyle{ \ln (1 \pm x)}\) i zmienić kolejność całkowania z sumowaniem. W 867.8 przyda się podstawienie \(\displaystyle{ x = 1-t}\) na początku.

szumlak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 sie 2010, o 21:22
Płeć: Mężczyzna

Całki Eulera

Post autor: szumlak » 19 sie 2010, o 12:57

Na prawdę dziękuje za pomoc. Przyznam się ze te przykłady nie są dla mnie tylko dla dziewczyny do pracy dyplomowej. Matematyka to niestety nie moja dziedzina. Cześć innych zrobiła a z tych ma wybrać jeszcze kilka przykładów. Tylko jest w pracy za granica i nie ma zbyt dużego dostępu do książek i internetu. Wiem ze zawracam głowę ale byłbym wdzięczny za pomoc. Najważniejsze są te poniżej:

Funkcja gamma Eulera
Obliczyć całkę
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}e^{-au}u^{\frac{3}{2}}du}\)

Wyraź \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} z^{\frac{1}{2}}e^{-z^{3}}dz}\) przez funcję gamma.
Wyraź \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} x^{5}e^{-x^{4}}dx}\) przez funcję gamma.
Oblicz \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x\ln(\frac{1}{x})}}}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(\ln x)^{n}dx}\)

Funkcja beta Eulera
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits^{2\pi}_{0}\cos^{6}xdx}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\ (1-\frac{1}{x})^{\frac{2}{3}}dx}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}u^{2}(8-u^{3})^{\frac{1}{3}}du}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}(u(1-u))^{\frac{1}{3}}du}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{a}\frac{-dx}{\sqrt{a^{6}-x^{6}}}}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{\frac{1}{3}}2x dx}\)

Oblicz pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywą \(\displaystyle{ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1}\)

miodzio1988

Całki Eulera

Post autor: miodzio1988 » 19 sie 2010, o 22:02

\(\displaystyle{ \int_0^1\left(1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{2}{3}}\mbox{d}x=\int_0^1x^{-\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}}\mbox{d}x=B\left(\frac{1}{3},\frac{5}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{ \int\limits^{2\pi}_{0}\cos^{6}xdx=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^6x\mbox{d}x=2B\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)=\frac{2\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)}{\Gamma\left(4\right)}=\frac{5\pi}{8}}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(\ln x)^{n}dx=\left[x=exp{-u}\right]=(-1)^n\int_0^{\infty}u^n exp{-u}\mbox{d}u=(-1)^n\Gamma (1+n)}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x\ln(\frac{1}{x})}}=\left[x=exp{-u}\right]=\int_0^{\infty}exp{-\frac{u}{2}}u^{\frac{1}{2}}\mbox{d}u=\left[\frac{u}{2}=t\right]=2\sqrt{2}\int_0^{\infty}exp{-t}t^{\frac{1}{2}}\mbox{d}t=\sqrt{2\pi}}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} x^{5}e^{-x^{4}}dx=\left[x^4=t\right]=\int_0^{\infty}t^{\frac{5}{4}}exp{-t}\cdot\frac{1}{4t^{\frac{3}{4}}}\mbox{d}t=\frac{1}{4}\int_0^{\infty}t^{\frac{1}{2}}exp{-t}\mbox{d}t=\frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} z^{\frac{1}{2}}exp{-z^{3}}\mbox{d}z=\left[z^3=t\right]=\int_0^{\infty}t^{\frac{1}{6}}exp{-t}\cdot\frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}\mbox{d}t=\frac{1}{3}\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}exp{-t}\mbox{d}t=\frac{1}{3}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}exp{-au}u^{\frac{3}{2}}\mbox{d}u=\left[ua=t\right]=\int_0^{\infty}exp{-t}\cdot\left(\frac{t}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{1}{a}\mbox{d}t=a^{-\frac{5}{2}}\int_0^{\infty}exp{-t}t^{\frac{3}{2}}\mbox{d}t=a^{-\frac{5}{2}}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}\)

luka52 Kolega dostał gotowca na innym forum

ODPOWIEDZ