iloczyn skalarny wektorów

[sorcerer123]

Oblicz kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jeżeli wektory \(\displaystyle{ 3 \vec{a} + \vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ 2\vec{b} - \vec{a}}\) są prostopadłe oraz \(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right|=1}\) i \(\displaystyle{ \left| \vec{b} \right| =2}\)

[Crizz]

Wskazówka: \(\displaystyle{ (3 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{b} - \vec{a})=0}\). Jak już wyznaczysz stąd iloczyn skalarny wektorów a i b, skorzystaj z definicji iloczynu skalarnego.

[sorcerer123]

nie bardzo wiem o co chodzi

[Crizz]

Iloczyn skalarny dwóch prostopadłych wektorów jest równy zero.

Wiemy zatem, że:

\(\displaystyle{ (3 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{b} - \vec{a})=0}\)
\(\displaystyle{ 6\vec{a} \cdot \vec{b}-3 \vec{a} \cdot \vec{a}+2\vec{b} \cdot \vec{b}-\vec{a} \cdot \vec{b}=0}\)
\(\displaystyle{ 5\vec{a} \cdot \vec{b}=3\vec{a} \cdot \vec{a}-2\vec{b} \cdot \vec{b}}\)

Ile to jest \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} \cdot \vec{b}}\)?

[sorcerer123]

\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{a}= \vec{a} ^{2}= \left|a \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} \cdot \vec{b}= \vec{b} ^{2}= \left|b \right| ^{2}}\)

czyli
\(\displaystyle{ 5 \vec{a} \cdot \vec{b}=3 \cdot 1-2 \cdot 4}\)
\(\displaystyle{ 5 \vec{a} \cdot \vec{b}=-5}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b}=-1}\)

\(\displaystyle{ cos \sphericalangle ( \vec{a} , \vec{b} )= \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| }= \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ( \vec{a} , \vec{b} )=180}\)

czy tak?

[Crizz]

Prawie OK, z tym że \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}=cos120^{o}}\).