dwie proste i parametr m

Zagadnienia dot. funkcji liniowych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 1. stopnia. Układy równań i nierówności liniowych.
HitTive
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 1 lis 2009, o 14:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 12 razy

dwie proste i parametr m

Post autor: HitTive » 16 sie 2010, o 19:32

Dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ mx+4y=-4}\) i \(\displaystyle{ x+my-m-4=0}\) ma obie współrzędne niedodatnie?

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

dwie proste i parametr m

Post autor: Crizz » 16 sie 2010, o 20:22

\(\displaystyle{ \begin{cases} mx+4y=-4 \\ x+my-m-4=0 \end{cases}}\)

Rozwiązujemy układ metodą przeciwnych współczynników:

\(\displaystyle{ \begin{cases} mx+4y=-4 \\ -mx-m^{2}y+m^{2}+4m=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ (4-m^{2})y+m^{2}+4m+4=0}\)
\(\displaystyle{ (m^{2}-4)y=m^{2}+4m+4}\)

Dla \(\displaystyle{ m=-2}\) wyjściowy układ przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x+4y=-4 \\ x-2y=2 \end{cases}}\)
Po podzieleniu pierwszego równania stronami przez \(\displaystyle{ -2}\) zauważamy, że układ jest nieoznaczony.

Dla \(\displaystyle{ m=2}\) wyjściowy układ przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+4y=-4 \\ x+2y=6 \end{cases}}\)
Po podzieleniu pierwszego równania stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) zauważamy, że układ jest sprzeczny.

Dla wszystkich pozostałych wartości m, możemy otrzymane równanie podzielić stronami przez \(\displaystyle{ m^{2}-4}\):
\(\displaystyle{ (m^{2}-4)y=m^{2}+4m+4}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{m^{2}+4m+4}{m^{2}-4}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{(m+2)^{2}}{(m+2)(m-2)}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{m+2}{m-2}}\)

Dalej korzystamy z drugiego równania układu:
\(\displaystyle{ x=m+4-my}\)
\(\displaystyle{ x=m+4-\frac{m(m+2)}{m-2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{(m+4)(m-2)-m(m+2)}{m-2}=\frac{8}{2-m}}\)

Zadanie sprowadza się zatem do rozwiązania układu nierówności:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{m+2}{m-2} \le 0 \\ \frac{8}{2-m} \le 0 \end{cases}}\)

W drugiej nierówności mamy liczbę dodatnią w liczniku wyrażenia wymiernego, żeby zatem wyrażenie było niedodatnie, mianownik musi być ujemny (przypadek \(\displaystyle{ m=2}\) już odrzuciliśmy). Rozwiązaniem tej nierówności jest zatem \(\displaystyle{ m \ge 2}\).

W pierwszej nierówności mamy iloraz dwóch wyrażeń z m. Iloraz dwóch liczb jest ujemny, gdy te liczby mają różne znaki, a wówczas także iloczyn takich liczb jest ujemny. Nierówność możemy zatem przedstawić w postaci \(\displaystyle{ (m+2)(m-2)<0}\). Jej rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ m\in(-2,2)}\). Dodatkowo trzeba się zastanowić, kiedy całe wyrażenie ma wartość zero. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ m+2=0}\), ale przypadek \(\displaystyle{ m=-2}\) już odrzuciliśmy.

Okazuje się zatem, że nie istnieją wartości parametru m, które spełniałyby warunki zadania.

ODPOWIEDZ