Matematyka.pl

Teorię można znaleźć pod tym linkiem:

80977.htm
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x ^{2}+1 }{x}}\)

\(\displaystyle{ (1)}\) Zaczynamy od dziedziny:

\(\displaystyle{ x \neq 0}\) i tylko w tym punkcie szukamy asymptoty pionowej

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } \frac{x ^{2}+1 }{x}=\left[ \frac{1}{0 ^{+} } \right] =+ \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{-} } \frac{x ^{2}+1 }{x}=\left[ \frac{1}{0 ^{-} } \right] =- \infty}\)

Zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) posiada asymptotę pionową daną wzorem \(\displaystyle{ x=0}\)

\(\displaystyle{ (2)}\) Badamy co się dzieje gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow ^{+} _{-} \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f(x)= \lim_{x \to + \infty } \frac{x ^{2}+1 }{x} = \lim_{x \to + \infty } x+ \frac{1}{x} =[+ \infty +0]= + \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } f(x)= \lim_{x \to - \infty } \frac{x ^{2}+1 }{x} = \lim_{x \to - \infty } x+ \frac{1}{x} =[- \infty +0]= - \infty}\)

Brak asymptot poziomych ( Gdyby istniały to zamiast nieskończoności by wyszły liczby )

\(\displaystyle{ (3)}\) Szukamy asymptot ukośnych korzystając ze znanych wzorów:

\(\displaystyle{ a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}}\)

\(\displaystyle{ b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)}\)

\(\displaystyle{ a= \lim_{x \to + \infty } \frac{x ^{2}+1 }{x} \cdot \frac{1}{x} = \lim_{x \to + \infty } \frac{x ^{2}+1 }{x ^{2} }=...}\)

Dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ ...=\lim_{x \to + \infty } \frac{1+ \frac{1}{x ^{2} } }{1 }= 1}\)

\(\displaystyle{ b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)= \lim_{x\to +\infty} \frac{x ^{2}+1 }{x} - x= \lim_{x\to +\infty} \frac{x ^{2}+1 }{x} - \frac{x ^{2} }{x} =\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}=0}\)

Asymptota ukośna to: \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
czyli u nas:

\(\displaystyle{ y=x}\)
\(\displaystyle{ f(x)= x \cdot e ^{ \frac{1}{x} }}\)

\(\displaystyle{ (1)}\) Dziedzina : \(\displaystyle{ R - \{ 0 \}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} }f(x)= \lim_{x \to 0 ^{+} } x \cdot e ^{ \frac{1}{x} } =...}\)

Podstawienie:

\(\displaystyle{ t= \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ x \rightarrow 0 ^{+} \Rightarrow t \rightarrow + \infty}\)

\(\displaystyle{ ... = \lim_{t \to + \infty } \frac{ e^{t} }{t}= H= \lim_{t \to + \infty } \frac{( e^{t})' }{(t)'}= \lim_{t \to + \infty } \frac{ e^{t} }{1}= \lim_{t \to + \infty } e^{t} =+ \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{-} }f(x)= \lim_{x \to 0 ^{-} } x \cdot e ^{ \frac{1}{x} } =...}\)

Podstawienie:

\(\displaystyle{ t= \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ x \rightarrow 0 ^{-} \Rightarrow t \rightarrow - \infty}\)


\(\displaystyle{ ... = \lim_{t \to - \infty } \frac{ e^{t} }{t}= [ \frac{0}{- \infty } ]= 0}\)

Asymptota pionowa prawostronna : \(\displaystyle{ x=0}\)

\(\displaystyle{ (2)}\) Asymptoty poziome:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } x \cdot e ^{ \frac{1}{x} } =[ + \infty \cdot e ^{0}]= [ + \infty \cdot 1]=+\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } x \cdot e ^{ \frac{1}{x} } =[ - \infty \cdot e ^{0}]= [ - \infty \cdot 1]=-\infty}\)

Brak asymptot poziomych

\(\displaystyle{ (3)}\) Asymptoty ukośne

\(\displaystyle{ a= \lim_{x \to + \infty } \frac{ x \cdot e ^{ \frac{1}{x} }}{x}= \lim_{x \to + \infty } e ^{ \frac{1}{x} }=e ^{0}=1}\)

\(\displaystyle{ b= \lim_{x \to + \infty } x \cdot e ^{ \frac{1}{x} } -x = \lim_{x \to + \infty } x( e ^{ \frac{1}{x} }- 1)=...}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ t= \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ ...= \lim_{x \to 0 ^{+} } \frac{ e^{t} -1}{t}=1}\)

Korzystamy z tego, że:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1}\)

Asymptota ukośna :

\(\displaystyle{ y=x+1}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{e^x+1}{e^{x}-1}}\)

\(\displaystyle{ (1)}\) Dziedzina:

\(\displaystyle{ e^{x}-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 ^{+} } \frac{e^x+1}{e^{x}-1}= \left[ \frac{2}{0 ^{+} } \right]=+ \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 ^{-} } \frac{e^x+1}{e^{x}-1}= \left[ \frac{2}{0 ^{-} } \right]=- \infty}\)

Asymptota pionowa \(\displaystyle{ x=0}\)

\(\displaystyle{ (2)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } \frac{e^x+1}{e^{x}-1} =...}\)

Dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ e^{x}}\)

\(\displaystyle{ ...= \lim_{x \to + \infty } \frac{1+ \frac{1}{e^{x}} }{1- \frac{1}{e^{x}} } = \frac{1+0}{1-0} =1}\)

Można też to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } \frac{e^x+1}{e^{x}-1} = \frac{0+1}{0-1}=-1}\)

2 asymptoty poziome

\(\displaystyle{ y=1}\)

\(\displaystyle{ y=-1}\)

\(\displaystyle{ (3)}\)

\(\displaystyle{ a=\lim_{x \to + \infty } \frac{1}{x} + \frac{ 2}{x(e^{x}-1)}= 0+ 0=0}\)

Czyli :

\(\displaystyle{ b=\lim_{x \to + \infty } f(x) - a \cdot x= \lim_{x \to + \infty } f(x) - 0 \cdot x=\lim_{x \to + \infty } f(x)}\)

I tutaj wracamy do przypadku \(\displaystyle{ (2)}\)

Widać, że asymptota pozioma to szczególny przypadek asymptoty ukośnej (\(\displaystyle{ a=0}\))


cdn
Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )