Pochodne cząstkowe-jak to się robi w praktyce

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
miodzio1988

Pochodne cząstkowe-jak to się robi w praktyce

Post autor: miodzio1988 » 15 sie 2010, o 00:11

Jak liczymy pochodne cząstkowe
Wszystko wyjaśnię na przykładach.
Przykład 1
\(\displaystyle{ f(x,y)=x \cdot y}\)

No to najpierw po \(\displaystyle{ x}\). Czyli \(\displaystyle{ y}\) jest liczbą . Powiedzmy, że \(\displaystyle{ y=5}\). Wtedy pochodna jak wygląda? No \(\displaystyle{ (5x)' _{x} = 5 \cdot (x)' _{x}=5 \cdot 1=5}\). Zatem to \(\displaystyle{ y}\) możemy sobie wyłączyć przed pochodną. I tak zawsze robimy. Zawsze wyciągamy wszystko co możemy.

\(\displaystyle{ f' _{x}= y}\)

Po \(\displaystyle{ y}\) analogicznie
Przykład 2
\(\displaystyle{ f(x,y)=x ^{3} \cdot y^{2}}\)
Najpierw po \(\displaystyle{ x}\). Czyli co robimy? \(\displaystyle{ y^{2}}\) wystawiamy przed pochodną i liczymy pochodną z (\(\displaystyle{ (x ^{3})'= 3x ^{2}}\))

\(\displaystyle{ f' _{x}=3x ^{2} \cdot y^{2}}\)

\(\displaystyle{ f' _{y}= x ^{3} \cdot 2 \cdot y}\)
Przykład 3
\(\displaystyle{ f(x,y)= ( x+y ^{2}) ^{2}}\)

Możemy sobie zawsze zrobić podstawienie (tutaj \(\displaystyle{ t= x+y ^{2}}\))

No to najpierw po \(\displaystyle{ x}\). Zatem będzie to \(\displaystyle{ (t ^{2} )'= 2 \cdot t}\) ( ponieważ \(\displaystyle{ t}\) zawiera jakiś \(\displaystyle{ x}\)) i mnożymy przez pochodną wewnętrzną
\(\displaystyle{ t' _{x}=( x+y ^{2})' _{x} = ( x )' _{x} + ( y ^{2})' _{x}= 1+0=1}\)
ostatecznie:

\(\displaystyle{ f ' _{x} = 2 \cdot t \cdot t' _{x}}\)

\(\displaystyle{ f ' _{x} = 2 \cdot t \cdot t' _{x}= 2 \cdot ( x+y ^{2}) \cdot 1= 2 \cdot ( x+y ^{2})}\)

Analogicznie po \(\displaystyle{ y}\)

\(\displaystyle{ f ' _{y} = 2 \cdot ( x+y ^{2}) \cdot 2y= 4y \cdot ( x+y ^{2})}\)
Przykład 4
\(\displaystyle{ f(x,y)= e^{ x ^{2} \cdot y }}\)

Podstawienie: \(\displaystyle{ x ^{2} \cdot y=t}\)

\(\displaystyle{ (e ^{t} )'= e ^{t}}\)

\(\displaystyle{ t' _{x}= 2 \cdot x \cdot y}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ f' _{x} = e ^{t} \cdot t' _{x}= e^{ x ^{2} \cdot y } \cdot 2 \cdot x \cdot y}\)

Reszta analogicznie:
\(\displaystyle{ f' _{y} = e^{ x ^{2} \cdot y } \cdot x^{2}}\)
Przykład 5
\(\displaystyle{ f(x,y)=cos( 10x +3y)+ \frac{1}{ x ^{2}+y }}\)

Podaje odpowiedzi tylko. Robimy znowu podstawienia tylko. Jak chcesz sprawdzić czy czegoś się nauczyłeś to ( po zrobieniu przykładu ) zerknij tutaj:
Ukryta treść:    
Przykład 6
\(\displaystyle{ f(x,y) = x ^{3} + 8y^{3} - 6xy +1}\)

\(\displaystyle{ f' _{x}= 3x ^{2} -6y}\)

bo

\(\displaystyle{ 8y^{3}}\) to wtedy stała

\(\displaystyle{ f' _{y}= 24y ^{2} -6x}\)

bo

\(\displaystyle{ x^{3}}\) to wtedy stała

Wszelkie uwagi proszę kierować na PW
Późno jest więc mogłem strzelić jakiś błąd
Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać na PW. Jak wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )
Temat ma na celu nauczenie kogoś od podstaw liczenia pochodnych cząstkowych. Wymaga on jedynie znajomości liczenia pochodnych funkcji jednej zmiennej
Dziękuje smigolowi i Inkwizytorowi za dobre wskazówki.
Ostatnio zmieniony 15 sie 2010, o 11:49 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.

ODPOWIEDZ