granica ciągła ciągu funkcyjnego jednostajnie zbieżnego

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
ziggy_stardust
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 25 kwie 2010, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

granica ciągła ciągu funkcyjnego jednostajnie zbieżnego

Post autor: ziggy_stardust » 11 sie 2010, o 16:41

Witam, ciekawi mnie czy prawdziwe jest następujące twierdzenie:
Niech dany będzie ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ (f_n)}\), gdzie \(\displaystyle{ f_n:A_n \rightarrow X}\), którego każdy element jest jednostajnie ciągły oraz dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ A_{n+1} \subset A_n}\), wtedy \(\displaystyle{ f= \lim_{n \to \infty} f_n}\), \(\displaystyle{ f:A \rightarrow X}\), przy czym \(\displaystyle{ A= \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n}\) jest funkcją ciągłą

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

granica ciągła ciągu funkcyjnego jednostajnie zbieżnego

Post autor: szw1710 » 11 sie 2010, o 20:55

A co będzie, gdy \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^\infty} A_n=\emptyset?}\) Trzeba założyć niepustość przekroju, np. zwartość wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) lub przynajmniej jednego z nich. To już gwarantuje niepustość przekroju.

Wydaje mi się, że Twoja hipoteza jest fałszywa. Weźmy \(\displaystyle{ A_n=[0,1]}\), więc \(\displaystyle{ A=[0,1]}\), \(\displaystyle{ f_n(x)=x^n}\) są jednostajnie ciągłe (bo ciągłe na zbiorze zwartym), a granica nie jest ciągła, bo jest to funkcja zerowa na \(\displaystyle{ [0,1)}\) oraz przyjmująca wartość \(\displaystyle{ 1}\) w punkcie \(\displaystyle{ 1}\).

Trzeba by też założyć jednostajną zbieżność (zauważyłem przy którejś edycji postu, że masz taki tytuł ), której w powyższym przykładzie oczywiście nie ma. Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą, więc wtedy hipoteza zachodzi, bo na przekroju wyrazy ciągu są oczywiście ciągłe. Przy założeniu zwartości zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) wystarczy oczywiście postulować ciągłość. Oczywiście trzeba coś wiedzieć też o przeciwdziedzinie \(\displaystyle{ X}\). Tyle, żeby zachodziło wspomniane twierdzenie: granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2012
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 292 razy

granica ciągła ciągu funkcyjnego jednostajnie zbieżnego

Post autor: matmatmm » 14 lut 2016, o 16:28

szw1710 pisze:A co będzie, gdy \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^\infty} A_n=\emptyset?}\) Trzeba założyć niepustość przekroju, np. zwartość wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) lub przynajmniej jednego z nich.
A niby dlaczego? Funkcja na zbiorze pustym jest ciągła.

ODPOWIEDZ