Matematyka.pl

Rzucamy jeden raz kostką do gry. Zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) oznacza wypadnięcie liczby oczek podzielnej przez \(\displaystyle{ 3}\). Zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) oznacza wypadnięcie liczby oczek mniejszej niż \(\displaystyle{ 4}\). Oblicz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left(A \right)}\) i \(\displaystyle{ P\left(B \right)}\). Czy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)i\(\displaystyle{ B}\)są niezależne?

Jak się za to zabrać?



\(\displaystyle{ P \left(A \right)}\) - liczba oczek podzielnych przez \(\displaystyle{ 3=\frac{2}{6}}\)/ czyli prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P \left(B \right)}\) - liczba oczek mniejsza niż \(\displaystyle{ 4= \frac{3}{6}}\)/ czyli prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Są niezależne, ponieważ żadna z nich nie korzysta z drugiej.

MadEagle pisze:
Są niezależne, ponieważ żadna z nich nie korzysta z drugiej.

Bzdura. Zacznij od zobaczenia jaka jest definicja zdarzeń niezależnych i wtedy sprawdź czy ta definicja się zgadza

Ok dzięki damian za wynik ale niestety on Mi nie pomoże. Jeszcze raz powtórzę pytanie:
Jak się za to zabrać?

Zdarzenia są niezależne, gdy \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\)
Wystarczy podstawić do wzoru i sprawdzić, czy równość zachodzi.

Afish pisze:Zdarzenia są niezależne, gdy \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\)
Wystarczy podstawić do wzoru i sprawdzić, czy równość zachodzi.

Ok, ale żeby podstawić do wzoru muszę wiedzieć jak obliczyć \(\displaystyle{ P(A)}\) i \(\displaystyle{ P(B)}\) a z tym mam właśnie problem, bo z tego co damian napisał to widzę, że nasze wyniki się różnią nie wiem dlaczego, ponieważ podał gotowy wynik.

Prawdopodobieństwa P(A) i P(B) masz (Damian poprawił Twoje obliczenie, zacząłeś dobrze, czyli od 3/6, błąd pojawił się dalej).
Zostaje policzenie \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\), trzeba zacząć od określenia, czym jest zdarzenie \(\displaystyle{ A \cap B}\), jakie wyniki je spełniają, a jego prawdopodobieństwo dalej już potrafisz policzyć.

Zdarzenie \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) jest ilorazem zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\)
Zdarzenie \(\displaystyle{ A=\{3,6\}}\) oraz jego prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
Zdarzenie \(\displaystyle{ B=\{1,2,3\}}\) prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ (A \cap B) =\{3\}}\)

i prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{6}}\) \(\displaystyle{ ?}\)

Wynik OK, ale nie ta logika:
1.
\(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) jest prawdopodobieństwem, a nie zdarzeniem. Zdarzeniem jest \(\displaystyle{ A \cap B}\). I nie jest to iloraz, ale iloczyn.
2.
\(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{1}{6}}\) dlatego, że jeden wynik należy do iloczynu zdarzeń (napisałeś wyżej \(\displaystyle{ (A \cap B) =\{3\}}\)), a możliwych wyników jest 6 (jednakowo prawdopodobnych).
3.
Testując niezależność liczymy iloczyn \(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{6}}\). Jeżeli ten iloczyn jest równy policzonemu niezależnie \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) (a tak jest w tym przypadku, to zdarzenia są niezależne.
W ogólności tak nie musi być, np. dla A - wyrzucenie parzystej liczby oczek, B - wyrzucenie nieparzystej liczby oczek: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \neq 0}\)

A zależne są gdy nie spełniają \(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B)=P(A \cap B)}\) tak?

Jeżeli \(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B \neq P(A \cap B)}\) to zdarzenia nie są niezależne.