[Wielomiany][Teoria liczb] Wielomian o współczynnikach całkowitych i pierwiastki mod p

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Wielomiany][Teoria liczb] Wielomian o współczynnikach całkowitych i pierwiastki mod p

Post autor: max » 10 sie 2010, o 02:41

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie wielomianem (jednej zmiennej) o współczynnikach całkowitych.
Należy pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) takich, że istnieje \(\displaystyle{ a\in \mathbb{Z}}\) spełniające kongruencję:
\(\displaystyle{ f(a)\equiv 0\pmod{p}}\).

waral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 14 sty 2009, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Katowice
Pomógł: 3 razy

[Wielomiany][Teoria liczb] Wielomian o współczynnikach całkowitych i pierwiastki mod p

Post autor: waral » 10 sie 2010, o 09:10

bzdurki
Ostatnio zmieniony 10 sie 2010, o 23:36 przez waral, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Wielomiany][Teoria liczb] Wielomian o współczynnikach całkowitych i pierwiastki mod p

Post autor: max » 10 sie 2010, o 12:47

waral:    

Awatar użytkownika
XMaS11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 6 mar 2008, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kielce
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 47 razy

[Wielomiany][Teoria liczb] Wielomian o współczynnikach całkowitych i pierwiastki mod p

Post autor: XMaS11 » 10 sie 2010, o 16:40

Szósty i siódmy post tutaj:
169659,175.htm

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Wielomiany][Teoria liczb] Wielomian o współczynnikach całkowitych i pierwiastki mod p

Post autor: max » 10 sie 2010, o 20:24

Rozwiązanie binaja z przytoczonego tematu ma tę samą niedoróbę co rozwiązanie wyżej, niemniej pomysł limesa na jej poprawienie znajduje się kilka postów niżej w tamtym temacie.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Wielomiany][Teoria liczb] Wielomian o współczynnikach całkowitych i pierwiastki mod p

Post autor: Dumel » 10 sie 2010, o 21:11

mógłby mi ktoś wyjaśnić skąd w rozwiązaniu XMaSa wzięła się nierówność \(\displaystyle{ |W(F)| < p_1^{P_{1}+1} \cdot ...p_n^{P_n+1}}\)
?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Wielomiany][Teoria liczb] Wielomian o współczynnikach całkowitych i pierwiastki mod p

Post autor: max » 10 sie 2010, o 21:18

Mamy \(\displaystyle{ p_{i}^{P_{i}+1}\nmid W(F)}\) oraz jedynymi dzielnikami pierwszymi \(\displaystyle{ W(F)}\)\(\displaystyle{ p_{1},\ldots, p_{n}}\).
Te ciągi arytmetyczne powinny mieć chyba różnicę \(\displaystyle{ p_{i}^{P_{i}+1}}\) a nie \(\displaystyle{ p_{i}^{P_{i}}.}\)

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Wielomiany][Teoria liczb] Wielomian o współczynnikach całkowitych i pierwiastki mod p

Post autor: Dumel » 10 sie 2010, o 22:09

no tak, troche zapomniałem czym są te liczby p_i

ODPOWIEDZ