dziwne całki z równania różniczkowego

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
ejtysopel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 9 sty 2009, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Pomógł: 1 raz

dziwne całki z równania różniczkowego

Post autor: ejtysopel » 10 sie 2010, o 01:33

witam mam kłopot z dwoma całkami \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int\frac{4t^{2}+1}{t\sqrt{t}}e^{t}dt}\) oraz \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int\frac{4t^{2}+1}{t\sqrt{t}e^{t}}dt}\) kompletnie nie wiem jak je tknąć a wyszły mi takie do policzenia z równania różniczkowego : \(\displaystyle{ y^{''}-y=\frac{4t^{2}+1}{t\sqrt{t}}}\) rozwiązałem równanie jednorodne i wynik to \(\displaystyle{ y=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}}\) dalej wykorzystuję metodę uzminnienia stałych i dochodzę do takich całek nie wiem jak sie za nie zabrac może ktoś pomoże ?? pozdrawiam

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

dziwne całki z równania różniczkowego

Post autor: mariuszm » 10 sie 2010, o 10:27

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int\frac{4t^{2}+1}{t\sqrt{t}}e^{t}dt}\) oraz \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int\frac{4t^{2}+1}{t\sqrt{t}e^{t}}dt}\)

Takie całki to się liczy przez części

Po scałkowaniu przez części podstawiasz \(\displaystyle{ u^2=t}\)
i masz funkcję błędu

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

dziwne całki z równania różniczkowego

Post autor: luka52 » 10 sie 2010, o 11:00

mariuszm, tutaj żadna funkcja błędu nie jest potrzebna.

ejtysopel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 9 sty 2009, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Pomógł: 1 raz

dziwne całki z równania różniczkowego

Post autor: ejtysopel » 10 sie 2010, o 11:21

ok to ja może to spróbuje policzyc jak coś to popraw mnie ok ??
\(\displaystyle{ \int\frac{4t^{2}+1}{t\sqrt{t}}e^{t}dt=\int(\frac{4t^{2}}{t\sqrt{t}}+\frac{1}{t\sqrt{t}})e^{t}dt=\int(4\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}})e^{t}dt}\)
\(\displaystyle{ f=4\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}}\) \(\displaystyle{ g^{'}=e^{t}}\)
\(\displaystyle{ f^{'}=(\frac{2}{\sqrt{t}}-\frac{3}{2}\frac{1}{t^{2}\sqrt{t}})}\) \(\displaystyle{ g=e^{t}}\)
\(\displaystyle{ \int(4\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}})e^{t}dt=(4\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}})e^{t}-\int(\frac{2}{\sqrt{t}}-\frac{3}{2}\frac{1}{t^{2}\sqrt{t}})e^{t}dt}\)
\(\displaystyle{ t=u^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{t}=u}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{t}}dt=du}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{t}}dt=2du}\)
\(\displaystyle{ (4\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}})e^{t}-\int(2-\frac{3}{2}\frac{1}{u^{4}})e^{u^{2}}2du=(4\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}})e^{t}-2\int(\frac{4u^{4}-3}{2u^{4}})e^{u^{2}}du}\)
co dalej ??-- 10 sierpnia 2010, 10:25 --próbowałem z takim podstawieniem :
\(\displaystyle{ u^{2}=x}\)
\(\displaystyle{ 2udu=dx}\)
\(\displaystyle{ \int(\frac{4x^{2}-3}{2x^{2}})\frac{1}{\sqrt{x}}e^{x}dx}\) ale coś to dziwnie wygląda

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

dziwne całki z równania różniczkowego

Post autor: mariuszm » 10 sie 2010, o 11:51

Właśnie to przeliczyłem podczas całkowania przez części pojawiają się funkcje blędu
ale ostatecznie się one zerują


\(\displaystyle{ \int{ \frac{4t^2+1}{t \sqrt{t} } e^{t}} \mbox{d}t}\)

Dla wygody obliczeń teraz podstawię \(\displaystyle{ u^2=t}\)

\(\displaystyle{ u^2=t}\)

\(\displaystyle{ 2u \mbox{d}u= \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{8u^4+2}{u^2 } e^{u^2}} \mbox{d}u}\)

Teraz rozbijam na sumę całek i każdą z nich całkuję przez części

\(\displaystyle{ =\int{8u^2e^{u^2} \mbox{d}u}+2\int{u^{-2}e^{u^2} \mbox{d}u}}\)

\(\displaystyle{ =4ue^{u^{2}}-4\int{e^{u^{2}} \mbox{d}u}- \frac{2}{u} \cdot e^{u^2}+2\int{u^{-1} \cdot 2ue^{u^2} \mbox{d}u}}\)

\(\displaystyle{ =4ue^{u^{2}}-4\int{e^{u^{2}} \mbox{d}u}- \frac{2}{u} \cdot e^{u^2}+4\int{e^{u^2} \mbox{d}u}}\)

\(\displaystyle{ 4ue^{u^{2}}- \frac{2}{u} \cdot e^{u^2}+C}\)

\(\displaystyle{ = 2\left(2 \sqrt{t}- \frac{1}{ \sqrt{t} } \right)e^{t}+C}\)

Luka ma rację że funkcję błędu się zerują a ja nie przeliczyłem wtedy tej całki do końca

W podobny sposób obliczasz tę drugą całkę
ejtysopel pisze: co dalej ??
Dalej powinieneś znowu liczyć przez części tym razem różniczkując \(\displaystyle{ e^{u^2}}\)
Ostatnio zmieniony 10 sie 2010, o 12:19 przez mariuszm, łącznie zmieniany 2 razy.

ejtysopel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 9 sty 2009, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Pomógł: 1 raz

dziwne całki z równania różniczkowego

Post autor: ejtysopel » 10 sie 2010, o 12:04

no tak faktycznie dziekuję

-- 10 sierpnia 2010, 11:32 --

mam jeszcze pytanie jak przez części scałkowałeś :
\(\displaystyle{ \int 8u^{2}e^{u^{2}}du}\) co jest \(\displaystyle{ f}\) a co \(\displaystyle{ g^{'}}\) ??możesz to jakoś rozpisać ?

-- 10 sierpnia 2010, 11:39 --

bo mi wychodzi ze \(\displaystyle{ \int8u^{2}e^{u^{2}}du}\) przez części
\(\displaystyle{ f=e^{u^{2}}}\) \(\displaystyle{ g^{'}=8u^{2}}\)
\(\displaystyle{ f^{'}=2ue^{u^{2}}}\) \(\displaystyle{ g=\frac{8}{3}u^{3}}\) inaczej sie chyba nie da bo ile wynosi \(\displaystyle{ \int e^{u^{2}}du}\)-- 10 sierpnia 2010, 11:53 --ta druga całka \(\displaystyle{ 2\int\frac{1}{u^{2}}e^{u^{2}}du}\) to wyszła mi tak jak tobie ale ta pierwsza nie

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

dziwne całki z równania różniczkowego

Post autor: mariuszm » 10 sie 2010, o 15:42

W całce \(\displaystyle{ \int{8u^2e^{u^{2}} \mbox{d}u}}\) funkcje do całkowania przez części dobierasz w ten sposób

\(\displaystyle{ f=4u \\ g'=2ue^{u^2}}\)

Funkcję g łatwo znajdziesz ze wzoru na pochodną funkcji złożonej

\(\displaystyle{ \int{e^{u^{2}} \mbox{d}u}}\)

można wyrazić za pomocą funkcji błędu albo za pomocą szeregu

No i jeszcze została całka

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int\frac{4t^{2}+1}{t\sqrt{t}e^{t}}dt}\)

Ale myślę że ją już sam scałkujesz ponieważ sposób obliczania jest taki sam
ejtysopel pisze:a już chyba rozumiem czyli można zapisać w ten sposób \(\displaystyle{ \int8u^{2}e^{u^{2}}du=\int4u\cdot 2ue^{u^{2}}du}\) i całkować przez części tak jak podałeś
Tak można tak zapisać a nawet trzeba



Na marginesie dodam że podstawienie \(\displaystyle{ u^2=t}\) nie jest konieczne ale osobom które
nie mają wprawy w całkowaniu ułatwia całkowanie przez części .
Poza tym od razu widać całkę nieelementarną która pojawia się podczas całkowania przez części
i która ostatecznie zeruje się
Ostatnio zmieniony 10 sie 2010, o 17:16 przez mariuszm, łącznie zmieniany 1 raz.

ejtysopel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 9 sty 2009, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Pomógł: 1 raz

dziwne całki z równania różniczkowego

Post autor: ejtysopel » 10 sie 2010, o 15:58

a już chyba rozumiem czyli można zapisać w ten sposób \(\displaystyle{ \int8u^{2}e^{u^{2}}du=\int4u\cdot 2ue^{u^{2}}du}\) i całkować przez części tak jak podałeś

ODPOWIEDZ