pkt stac., ekstremum, (z e^x)

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
praktyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 16 lut 2010, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy

pkt stac., ekstremum, (z e^x)

Post autor: praktyk » 9 sie 2010, o 21:06

sprawdź czy pkt (x,y) jest pkt stacjonarnym f(x,y). jesli tak to wyznacz ekstremum w tym pkt.

\(\displaystyle{ pkt (-1,0)}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)=e^{x}(2x+y^{2})}\)

\(\displaystyle{ f'x(x,y)=e^{x} \cdot 2x+e^{x} \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ f'y(x,y)=e^{x} \cdot y^{2}+e^{x} \cdot 2y}\)

proszę o sprawdzenie czy już od samego początku liczę to zadanie dobrze (czy te pochodne są dobrze policzone), jeżeli źle to z jakich wzorów to wyliczyć? czy tu nie trzeba czasami zastosować pochodnej funkcji złożonej?

miodzio1988

pkt stac., ekstremum, (z e^x)

Post autor: miodzio1988 » 9 sie 2010, o 21:08

Źle jest policzone.
Po \(\displaystyle{ x}\):
pochodna iloczynu.
Po \(\displaystyle{ y}\):
Mnożymy i widzimy co trzeba zrobić.

sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

pkt stac., ekstremum, (z e^x)

Post autor: sushi » 9 sie 2010, o 21:09

pochodna po ""x"" juz źle policzona \(\displaystyle{ (f \cdot g)'=f ' \cdot g +f \cdot g'}\)

Awatar użytkownika
praktyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 16 lut 2010, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy

pkt stac., ekstremum, (z e^x)

Post autor: praktyk » 10 sie 2010, o 12:07

zrobiłem tak - sprawdźcie teraz:

\(\displaystyle{ f'x=e^{x}(2x+y^{2})+e^{x} \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ f'y=e^{x} \cdot 2y}\)

\(\displaystyle{ f'x(-1,0)=0}\)
\(\displaystyle{ f'y(-1,0)=0}\)

pkt (-1,0) jest podejrzany o bycie pkt stacjonarnym

\(\displaystyle{ f'xx=e^{x}(2x+y^{2})+e^{x} \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ f'yy=2e^{x}}\)
\(\displaystyle{ f'xy=2ye^{x}}\)
\(\displaystyle{ f'yx=e^{x} \cdot 2y}\)

\(\displaystyle{ f'xx(-1,0)= \frac{2}{e}}\)
\(\displaystyle{ f'yy(-1,0)=\frac{2}{e}}\)
\(\displaystyle{ f'xy(-1,0)=0}\)
\(\displaystyle{ f'yx(-1,0)=0}\)

\(\displaystyle{ wyznacznik= \left( \frac{2}{e} \right)^{2}>0}\)

\(\displaystyle{ f'xx(-1,0)=\frac{2}{e} \Rightarrow minimum}\)
\(\displaystyle{ f(min)=-\frac{2}{e}}\)
Ostatnio zmieniony 10 sie 2010, o 20:01 przez praktyk, łącznie zmieniany 1 raz.

miodzio1988

pkt stac., ekstremum, (z e^x)

Post autor: miodzio1988 » 10 sie 2010, o 12:09

Pochodne drugiego rzędu są źle policzone (dwie dokładnie)

Awatar użytkownika
praktyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 16 lut 2010, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy

pkt stac., ekstremum, (z e^x)

Post autor: praktyk » 10 sie 2010, o 13:31

a czy mógłbys powiedziec które dwie?

miodzio1988

pkt stac., ekstremum, (z e^x)

Post autor: miodzio1988 » 10 sie 2010, o 14:03

\(\displaystyle{ f'xx=}\)

\(\displaystyle{ f'yx}\)

Awatar użytkownika
praktyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 16 lut 2010, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy

pkt stac., ekstremum, (z e^x)

Post autor: praktyk » 10 sie 2010, o 20:04

poprawione - sprawdź teraz

po prostu źle przepisałem z kartki na której to liczyłem - teraz powinno być dobrze

miodzio1988

pkt stac., ekstremum, (z e^x)

Post autor: miodzio1988 » 10 sie 2010, o 22:37

\(\displaystyle{ f'xx=}\)
dalej źle. Pochodna sumy najpierw

ODPOWIEDZ