pkt stac., ekstremum, (z e^x)

[praktyk]

sprawdź czy pkt (x,y) jest pkt stacjonarnym f(x,y). jesli tak to wyznacz ekstremum w tym pkt.

\(\displaystyle{ pkt (-1,0)}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)=e^{x}(2x+y^{2})}\)

\(\displaystyle{ f'x(x,y)=e^{x} \cdot 2x+e^{x} \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ f'y(x,y)=e^{x} \cdot y^{2}+e^{x} \cdot 2y}\)

proszę o sprawdzenie czy już od samego początku liczę to zadanie dobrze (czy te pochodne są dobrze policzone), jeżeli źle to z jakich wzorów to wyliczyć? czy tu nie trzeba czasami zastosować pochodnej funkcji złożonej?

[miodzio1988]

Źle jest policzone.
Po \(\displaystyle{ x}\):
pochodna iloczynu.
Po \(\displaystyle{ y}\):
Mnożymy i widzimy co trzeba zrobić.

[sushi]

pochodna po ""x"" juz źle policzona \(\displaystyle{ (f \cdot g)'=f ' \cdot g +f \cdot g'}\)

[praktyk]

zrobiłem tak - sprawdźcie teraz:

\(\displaystyle{ f'x=e^{x}(2x+y^{2})+e^{x} \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ f'y=e^{x} \cdot 2y}\)

\(\displaystyle{ f'x(-1,0)=0}\)
\(\displaystyle{ f'y(-1,0)=0}\)

pkt (-1,0) jest podejrzany o bycie pkt stacjonarnym

\(\displaystyle{ f'xx=e^{x}(2x+y^{2})+e^{x} \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ f'yy=2e^{x}}\)
\(\displaystyle{ f'xy=2ye^{x}}\)
\(\displaystyle{ f'yx=e^{x} \cdot 2y}\)

\(\displaystyle{ f'xx(-1,0)= \frac{2}{e}}\)
\(\displaystyle{ f'yy(-1,0)=\frac{2}{e}}\)
\(\displaystyle{ f'xy(-1,0)=0}\)
\(\displaystyle{ f'yx(-1,0)=0}\)

\(\displaystyle{ wyznacznik= \left( \frac{2}{e} \right)^{2}>0}\)

\(\displaystyle{ f'xx(-1,0)=\frac{2}{e} \Rightarrow minimum}\)
\(\displaystyle{ f(min)=-\frac{2}{e}}\)

[miodzio1988]

Pochodne drugiego rzędu są źle policzone (dwie dokładnie)

[praktyk]

a czy mógłbys powiedziec które dwie?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ f'xx=}\)

\(\displaystyle{ f'yx}\)

[praktyk]

poprawione - sprawdź teraz

po prostu źle przepisałem z kartki na której to liczyłem - teraz powinno być dobrze

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ f'xx=}\)
dalej źle. Pochodna sumy najpierw